Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir três coisas sobre ela:
  1. Domínio: quais valores de e a função aceita.
  2. Imagem: quais são os possíveis valores que a função pode assumir.
  3. Curvas de Nível: desenhar linhas no plano que mostram onde a função tem valores constantes.
  4. Esboço do Gráfico: desenhar uma representação visual da função no espaço 3D.
Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e imagem, e representação gráfica. Vamos passo a passo!

Passo 2

Determinar o Domínio da Função
O domínio de uma função são todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que estamos somando os quadrados de e .
Aqui, não há nenhuma restrição como divisão por zero ou raiz quadrada de números negativos, que poderiam limitar os valores de e . Ou seja, podemos escolher qualquer número real para e .
Então, o domínio é:
Isso significa que e podem ser qualquer número real.

Passo 3

Determinar a Imagem da Função
A imagem de uma função são todos os valores que pode assumir quando e variam sobre o domínio.
Como , sabemos que e são sempre maiores ou iguais a zero (porque qualquer número ao quadrado é não negativo).
Portanto, a soma também será sempre maior ou igual a zero.
Então, a imagem é:
Ou seja, todos os números reais não negativos.

Passo 4

Representar as Curvas de Nível
Curvas de nível são linhas no plano onde a função tem o mesmo valor constante .
Para , queremos desenhar as curvas para diferentes valores de .
Vamos resolver para em termos de :
Isso representa círculos com raio centrados na origem .
Exemplos:
  • Para : círculo de raio 1.
  • Para : círculo de raio 2.
  • E assim por diante.
Visualizando:
Cada curva de nível é um círculo maior conforme aumenta.

Passo 5

Esboço do Gráfico da Função
O gráfico de no espaço 3D é chamado de paraboloide circular. Para esboçar:
  1. Curvas de Nível: Como vimos, são círculos empilhados, cada um maior que o anterior.
  2. Forma Geral: Imagine uma tigela ou paraboloide que se abre para cima, com a origem como o ponto mais baixo.
Passos para o esboço:
  • Desenhe a coordenada para representar os valores de .
  • Desenhe as curvas de nível como círculos concêntricos no plano e “suba” no eixo conforme os círculos aumentam.
  • Conecte os círculos para formar a superfície suave do paraboloide.

Resposta

O domínio da função é todo o conjunto dos números reais para e , ou seja, . A imagem da função é todos os números reais não negativos, . As curvas de nível são círculos centrados na origem com raio para cada valor constante . O gráfico da função é um paraboloide circular que se abre para cima.

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