Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir três coisas sobre ela:
- Domínio: quais valores de
e a função aceita. - Imagem: quais são os possíveis valores que a função pode assumir.
- Curvas de Nível: desenhar linhas no plano que mostram onde a função tem valores constantes.
- Esboço do Gráfico: desenhar uma representação visual da função no espaço 3D.
Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e imagem, e representação gráfica. Vamos passo a passo!
Passo 2
Determinar o Domínio da Função
O domínio de uma função são todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para
, vemos que estamos somando os quadrados de
e
.
Aqui, não há nenhuma restrição como divisão por zero ou raiz quadrada de números negativos, que poderiam limitar os valores de
e
. Ou seja, podemos escolher qualquer número real para
e
.
Então, o domínio é:
Isso significa que
e
podem ser qualquer número real.
Passo 3
Determinar a Imagem da Função
A imagem de uma função são todos os valores que
pode assumir quando
e
variam sobre o domínio.
Como
, sabemos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero (porque qualquer número ao quadrado é não negativo).
Portanto, a soma
também será sempre maior ou igual a zero.
Então, a imagem é:
Ou seja, todos os números reais não negativos.
Passo 4
Representar as Curvas de Nível
Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
tem o mesmo valor constante
.
Para
, queremos desenhar as curvas para diferentes valores de
.
Vamos resolver para
em termos de
:
Isso representa círculos com raio
centrados na origem
.
Exemplos:
- Para
: círculo de raio 1. - Para
: círculo de raio 2. - E assim por diante.
Visualizando:
Cada curva de nível é um círculo maior conforme aumenta.
Cada curva de nível é um círculo maior conforme
Passo 5
Esboço do Gráfico da Função
O gráfico de
no espaço 3D é chamado de paraboloide circular. Para esboçar:
- Curvas de Nível: Como vimos, são círculos empilhados, cada um maior que o anterior.
- Forma Geral: Imagine uma tigela ou paraboloide que se abre para cima, com a origem como o ponto mais baixo.
Passos para o esboço:
- Desenhe a coordenada
para representar os valores de . - Desenhe as curvas de nível como círculos concêntricos no plano
e “suba” no eixo conforme os círculos aumentam. - Conecte os círculos para formar a superfície suave do paraboloide.
Resposta
O domínio da função
é todo o conjunto dos números reais para
e
, ou seja,
. A imagem da função é todos os números reais não negativos,
. As curvas de nível são círculos centrados na origem com raio
para cada valor constante
. O gráfico da função é um paraboloide circular que se abre para cima.
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Resolva as integrais abaixo.
44)
44)
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Resolva as integrais abaixo.
48)
48)
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.