Resolva as integrais abaixo.
44)
44)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a seguinte integral:
Vamos usar técnicas de cálculo de integrais que envolvem funções racionais, como divisão de polinômios e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (
) é igual ao grau do denominador (
). Quando isso acontece, a gente começa fazendo uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Dividindo
por
:
- O quociente é 1, porque
divide exatamente uma vez. - Multiplicando o denominador pelo quociente:
. - Subtraindo isso do numerador:
.
Então, a fração original fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
A primeira integral é fácil de resolver:
Para a segunda integral, precisamos simplificar usando frações parciais.
Passo 4
Vamos fatorar o denominador da fração:
Assim, podemos escrever a fração como:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Distribuindo os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
: - Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
Passo 6
Substituindo
e
na decomposição, temos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo, a solução completa da integral é:
Resposta
Exercícios relacionados
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Mostre que se
é um campo vetorial conservativo e
então
.
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Resolva as integrais abaixo.
48)
48)