Resolva as integrais abaixo.
44)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a seguinte integral:
Vamos usar técnicas de cálculo de integrais que envolvem funções racionais, como divisão de polinômios e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ). Quando isso acontece, a gente começa fazendo uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Dividindo por :
  • O quociente é 1, porque divide exatamente uma vez.
  • Multiplicando o denominador pelo quociente: .
  • Subtraindo isso do numerador: .
Então, a fração original fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
A primeira integral é fácil de resolver:
Para a segunda integral, precisamos simplificar usando frações parciais.

Passo 4

Vamos fatorar o denominador da fração:
Assim, podemos escrever a fração como:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de e . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Distribuindo os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Para :
  • Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:

Passo 6

Substituindo e na decomposição, temos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo, a solução completa da integral é:

Resposta

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Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .
Mostre que se é um campo vetorial conservativo e
então .
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