Resolva as integrais abaixo.
44) integral x^2+x+1x^2+3 x d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a seguinte integral:
integral x^2 + x + 1x^2 + 3x , dx
Vamos usar técnicas de cálculo de integrais que envolvem funções racionais, como divisão de polinômios e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( x^2+x+1x^2+3x = 1 + -2x + 1x^2+3x ) é igual ao grau do denominador ( ). Quando isso acontece, a gente começa fazendo uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Dividindo por :
  • O quociente é 1, porque divide exatamente uma vez.
  • Multiplicando o denominador pelo quociente: .
  • Subtraindo isso do numerador: .
Então, a fração original fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
integral 1 , dx + integral -2x + 1x^2 + 3x , dx
A primeira integral é fácil de resolver:
integral 1 , dx = x
Para a segunda integral, precisamos simplificar usando frações parciais.

Passo 4

Vamos fatorar o denominador da fração:
x^2 + 3x = x(x + 3)
Assim, podemos escrever a fração como:
-2x + 1x(x + 3) = Ax + Bx + 3

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de -2x + 1 = A(x + 3) + Bx e -2x + 1 = Ax + 3A + Bx = (A + B)x + 3A . Multiplicando ambos os lados por A = 13 , temos:
B = -2 - A = -2 - 13 = -73
Distribuindo os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Para :
  • Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:

Passo 6

Substituindo -2x + 1x(x + 3) = 13x - 73(x + 3) e x + integral ( 13x - 73(x + 3) ) dx na decomposição, temos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 13x , dx = 13 ln|x|
integral 73(x + 3) , dx = 73 ln|x + 3|
Juntando tudo, a solução completa da integral é:
x + 13 ln|x| - 73 ln|x + 3| + C

Resposta

integral x^2+x+1x^2+3 x , dx = x + 13 ln|x| - 73 ln|x +3| + C

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