Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa achar uma função potencial
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e o gradiente.
Passo 2
Primeiro, lembremos que um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função
, ou seja, se existir
tal que:
Além disso, uma condição necessária para que
seja conservativo em um domínio simplesmente conexo é que as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
sejam iguais:
Passo 3
Vamos aplicar essa condição ao nosso campo
. Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Vendo que:
Isso significa que a condição necessária está satisfeita. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Sabemos que:
Integrando essa expressão em relação a
, temos:
Onde
é uma função arbitrária de
que surgiu na integração.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda componente do gradiente para determinar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso deve ser igual a
, então temos:
Integrando
, obtemos
, onde
é uma constante.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial para
é:
onde
é uma constante qualquer.
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Resolva as integrais abaixo.
48)
48)
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Resolva as integrais abaixo.
52)
52)
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.