Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y^2 - 2x, 2xy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa achar uma função potencial f tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e o gradiente.

Passo 2

Primeiro, lembremos que um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função f, ou seja, se existir f tal que:
Além disso, uma condição necessária para que F seja conservativo em um domínio simplesmente conexo é que as derivadas parciais de P em relação a y e de Q em relação a x sejam iguais:

Passo 3

Vamos aplicar essa condição ao nosso campo F. Aqui, e . Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Vendo que:
Isso significa que a condição necessária está satisfeita. Portanto, o campo F é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial f tal que . Sabemos que:
Integrando essa expressão em relação a x, temos:
Onde g(y) é uma função arbitrária de y que surgiu na integração.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda componente do gradiente para determinar g(y). Sabemos que:
Calculando a derivada de f(x, y) em relação a y:
Isso deve ser igual a , então temos:
Integrando , obtemos , onde C é uma constante.

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial para F é:
onde C é uma constante qualquer.

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