Resolva as integrais abaixo.
48) integral 5 x^2+20 x+6x^3+2 x^2+x d x

Passo 1

Então, vamos resolver a integral . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente, a técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1) . Podemos fatorar um x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 em comum:
x(x + 1)^2
Agora, vamos fatorar o trinomio:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração original com o denominador fatorado:
5x^2 + 20x + 6x(x + 1)^2
Vamos decompor essa fração em frações parciais da forma:
Ax + Bx + 1 + C(x + 1)^2
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 5x^2 + 20x + 6 = A(x + 1)^2 + Bx(x + 1) + Cx para eliminar as frações:
A(x^2 + 2x + 1) + Bx(x + 1) + Cx = A x^2 + 2A x + A + B x^2 + B x + C x
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
(A + B)x^2 + (2A + B + C)x + A
Combinando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 5 2A + B + C = 20 A = 6
Já sabemos que 6 + B = 5 Rightarrow B = -1 . Substituindo na primeira equação:
2(6) + (-1) + C = 20 Rightarrow 12 - 1 + C = 20 Rightarrow C = 9
Substituindo e na segunda equação:

Passo 6

Com os valores de 6x - 1x + 1 + 9(x + 1)^2 , e encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando cada termo:
integral 6x , dx = 6 ln|x|
integral -1x + 1 , dx = -ln|x + 1|
integral 9(x + 1)^2 , dx = 9 cdot (-1x + 1) = -9x + 1

Passo 8

Juntando todas as integrais, temos:
6 ln|x| - ln|x + 1| - 9x + 1 + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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