Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função . O que a gente vai fazer aqui é descobrir três coisas principais sobre essa função:
  1. Domínio: Onde a função está “valendo”, ou seja, para quais valores de e ela existe.
  2. Imagem: Quais são os possíveis resultados que a função pode dar.
  3. Curvas de nível: Linhas no plano onde a função mantém o mesmo valor.
  4. Esboço do gráfico: Se der, a gente vai tentar desenhar como essa função se parece em 3D.
Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis, raízes quadradas e como representamos isso graficamente.

Passo 2

Domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. No nosso caso, temos:
A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja:
Mas olha só, é sempre maior ou igual a zero para qualquer valor real de e . Então, não tem restrição nesse sentido. Portanto, o domínio da função é todo o plano :

Passo 3

Imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Vamos analisar a expressão:
A raiz quadrada sempre dá um número não negativo, ou seja, . Mas aí temos o sinal negativo na frente:
O menor valor que pode dar é zero (quando e ), então o valor máximo de é zero e ele diminui à medida que aumenta. Assim, a imagem da função é:

Passo 4

Curvas de nível
As curvas de nível são aquelas onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo , temos:
Substituindo nossa função:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Como a raiz quadrada é sempre não negativa, isso só faz sentido se , ou seja, . Então, para cada , elevando ao quadrado ambos os lados:
Isso representa círculos com raio centrados na origem. Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos ao redor da origem, e o tamanho do círculo aumenta conforme aumenta.

Passo 5

Esboço do gráfico da função
Essa função representa uma superfície no espaço tridimensional. Vamos entender como ela se comporta:
  • Valores na origem: Quando e , .
  • Para outros pontos: Conforme e se afastam da origem, aumenta, e como temos o sinal negativo, fica cada vez mais negativo.
Isso forma um cone invertido, com o vértice na origem e abrindo para baixo. Cada círculo nas curvas de nível corresponde a uma “corte” desse cone a uma altura específica.
Esboço simplificado:
Imagine um cone apontando para baixo, com o topo na origem e aumentando em profundidade à medida que você se afasta da origem no plano .

Resposta

O domínio da função é todo o plano , a imagem é , as curvas de nível são círculos centrados na origem com raios crescentes à medida que o valor de diminui, e o gráfico da função é um cone invertido com vértice na origem.

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41)
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78)