Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função
. O que a gente vai fazer aqui é descobrir três coisas principais sobre essa função:
- Domínio: Onde a função está “valendo”, ou seja, para quais valores de
e ela existe. - Imagem: Quais são os possíveis resultados que a função pode dar.
- Curvas de nível: Linhas no plano
onde a função mantém o mesmo valor. - Esboço do gráfico: Se der, a gente vai tentar desenhar como essa função se parece em 3D.
Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis, raízes quadradas e como representamos isso graficamente.
Passo 2
Domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. No nosso caso, temos:
A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja:
Mas olha só,
é sempre maior ou igual a zero para qualquer valor real de
e
. Então, não tem restrição nesse sentido. Portanto, o domínio da função é todo o plano
:
Passo 3
Imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Vamos analisar a expressão:
A raiz quadrada
sempre dá um número não negativo, ou seja,
. Mas aí temos o sinal negativo na frente:
O menor valor que
pode dar é zero (quando
e
), então o valor máximo de
é zero e ele diminui à medida que
aumenta. Assim, a imagem da função é:
Passo 4
Curvas de nível
As curvas de nível são aquelas onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo
, temos:
Substituindo nossa função:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Como a raiz quadrada é sempre não negativa, isso só faz sentido se
, ou seja,
. Então, para cada
, elevando ao quadrado ambos os lados:
Isso representa círculos com raio
centrados na origem. Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos ao redor da origem, e o tamanho do círculo aumenta conforme
aumenta.
Passo 5
Esboço do gráfico da função
Essa função representa uma superfície no espaço tridimensional. Vamos entender como ela se comporta:
- Valores na origem: Quando
e , . - Para outros pontos: Conforme
e se afastam da origem, aumenta, e como temos o sinal negativo, fica cada vez mais negativo.
Isso forma um cone invertido, com o vértice na origem e abrindo para baixo. Cada círculo nas curvas de nível corresponde a uma “corte” desse cone a uma altura específica.
Esboço simplificado:
Imagine um cone apontando para baixo, com o topo na origem e aumentando em profundidade à medida que você se afasta da origem no plano
.
Resposta
O domínio da função
é todo o plano
, a imagem é
, as curvas de nível são círculos centrados na origem com raios crescentes à medida que o valor de
diminui, e o gráfico da função é um cone invertido com vértice na origem.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo.
41)
41)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Suponha que
esteja definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
. Determine
e
.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
78)
78)