Resolva as integrais abaixo.
41)
41)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais usando frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complexas em mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos expressar a fração
como uma soma de frações parciais. Vamos supor que:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Primeiro, coloque
:
Agora, coloque
:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 7
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Passo 8
As integrais de
são ln|x-a|. Então, calculamos:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: