Resolva as integrais abaixo.
41) integral d xx^2-5 x+6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais usando frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complexas em mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) . Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos expressar a fração 1(x-2)(x-3) = Ax-2 + Bx-3 como uma soma de frações parciais. Vamos supor que:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x-3) + B(x-2) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para encontrar e .

Passo 5

Vamos escolher valores de 1 = A(3-3) + B(3-2) Rightarrow 1 = 0 + B(1) Rightarrow B = 1 que simplifiquem a equação. Primeiro, coloque 1 = A(2-3) + B(2-2) Rightarrow 1 = A(-1) + 0 Rightarrow A = -1 :
Agora, coloque :

Passo 6

Agora que encontramos 1(x-2)(x-3) = -1x-2 + 1x-3 e , podemos escrever a fração original como:

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral dxx^2-5x+6 = integral ( -1x-2 + 1x-3 ) dx
= -integral dxx-2 + integral dxx-3

Passo 8

As integrais de - ln|x-2| + ln|x-3| + C são ln|x-a|. Então, calculamos:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral ln|x-3x-2| + C é igual a:

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