Suponha que
esteja definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação envolvendo
,
e
:
. A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que nos ajuda a encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação sobre cada termo da equação em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, diferenciamos toda a equação
em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
.
Diferenciando termo a termo:
Juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
. Vamos isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Diferenciando a equação
em relação a
:
Diferenciando termo a termo:
Juntando tudo:
Passo 5
Vamos resolver para
. Isolando os termos com
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Resolva as integrais abaixo.
41)
41)
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
78)
78)
determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.