Suponha que z esteja definida implicitamente como uma função de x e y pela equação F(x, y, z)=x z^2+y^2 z+x y-1=0. Determine partial z / partial x e partial z / partial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação envolvendo , e : . A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que nos ajuda a encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação sobre cada termo da equação em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partialpartial x(x z^2) = z^2 + x cdot 2 z cdot partial zpartial x . Para isso, diferenciamos toda a equação partialpartial x(y^2 z) = y^2 cdot partial zpartial x em relação a partialpartial x(x y) = y , lembrando que partialpartial x(-1) = 0 é uma função de z^2 + 2 x z partial zpartial x + y^2 partial zpartial x + y = 0 e .
Diferenciando termo a termo:
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos resolver para 2 x z partial zpartial x + y^2 partial zpartial x = -z^2 - y . Vamos isolar os termos que contêm (2 x z + y^2) partial zpartial x = -z^2 - y :
partial zpartial x = -z^2 - y 2 x z + y^2
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar partialpartial y(x z^2) = x cdot 2 z cdot partial zpartial y . Diferenciando a equação partialpartial y(y^2 z) = 2 y z + y^2 cdot partial zpartial y em relação a partialpartial y(x y) = x :
Diferenciando termo a termo:
partialpartial y(-1) = 0
2 x z partial zpartial y + 2 y z + y^2 partial zpartial y + x = 0
Juntando tudo:

Passo 5

Vamos resolver para 2 x z partial zpartial y + y^2 partial zpartial y = -2 y z - x . Isolando os termos com (2 x z + y^2) partial zpartial y = -2 y z - x :
partial zpartial y = -2 y z - x 2 x z + y^2
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -z^2 - y 2 x z + y^2
e
partial zpartial y = -2 y z - x 2 x z + y^2

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