Suponha que esteja definida implicitamente como uma função de e pela equação . Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação envolvendo , e : . A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que nos ajuda a encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação sobre cada termo da equação em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, diferenciamos toda a equação em relação a , lembrando que é uma função de e .
Diferenciando termo a termo:
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos resolver para . Vamos isolar os termos que contêm :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Diferenciando a equação em relação a :
Diferenciando termo a termo:
Juntando tudo:

Passo 5

Vamos resolver para . Isolando os termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .
Resolva as integrais abaixo.
41)
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
78)
determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .