Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que estamos usando aqui é de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes, especificamente usando o método dos coeficientes a determinar. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Isso significa que vamos achar a solução onde o lado direito é zero.
Passo 3
Para resolver a homogênea, montamos a equação característica:
. Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
, onde
e
. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
. Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Observando o lado direito
, vamos propor uma solução da forma:
onde
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
, e
na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes de
e
dos dois lados para encontrar
e
.
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos os valores de
e
. Após os cálculos, obtemos:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Resolva as integrais abaixo.
35)
35)
Resolva as integrais abaixo.
41)
41)
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.