Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . Aqui, vamos trabalhar com cálculo, especificamente análise de funções. Precisamos encontrar o domínio, interceptações com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são os valores de para os quais a função está definida.
Sabemos que só está definida para . Além disso, o denominador não pode ser zero, então , ou seja, . Como , .
Então, o domínio é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
Interseção com o eixo Y: Isso acontece quando . Mas nosso domínio é , então não há interseção com o eixo Y.
Interseção com o eixo X: Aqui, .
Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja, . Porém, não está no domínio, então não há interseção com o eixo X.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical: Acontece onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já vimos que faz o denominador zero, então temos uma assíntota vertical em:
Assíntota horizontal: Analisamos o limite de quando tende ao infinito ou zero.
Então, não há assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos ver se há interseções com as assíntotas.
Assíntota vertical : Para verificar interseção, calculamos . Mas não está no domínio, então não há interseção.
Assíntota horizontal: Não existe, conforme vimos.

Passo 6

Vamos encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos derivar .
Primeira derivada usando a regra do quociente:
Analisando o sinal de :
  • quando .
  • quando .
Então:
  • Crescente:
  • Decrescente:

Passo 7

Vamos determinar os máximos e mínimos locais.
Como a derivada muda de sinal em :
  • Mínimo local em .
Para encontrar o valor:
Então, o mínimo local é .

Passo 8

Agora, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Precisamos da segunda derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada usando a regra do quociente:
Simplificando:
Analisando o sinal de :
  • para
  • para
Então:
  • Concava para cima:
  • Concava para baixo:
  • Ponto de inflexão: Em (mesmo sendo uma assíntota vertical)

Passo 9

Por último, vamos fazer um esboço do gráfico com base nas informações encontradas:
  • Domínio: ,
  • Assíntota vertical:
  • Crescente:
  • Decrescente:
  • Mínimo local:
  • Concavidade:
    • Para cima:
    • Para baixo:
  • Sem interseções com os eixos
O gráfico será uma curva que se aproxima da assíntota vertical em , tem um ponto mínimo em , cresce para a direita de e decresce para a esquerda, com a concavidade mudando conforme passa por 1.

Resposta

Após analisar detalhadamente a função , concluímos que:
  • O domínio é e .
  • Não há interseções com os eixos X e Y.
  • Existe uma assíntota vertical em .
  • A função é decrescente no intervalo e crescente em .
  • Há um mínimo local em .
  • A concavidade é para baixo em e para cima em .
  • O esboço gráfico apresenta uma curva que se aproxima da assíntota vertical em , com comportamento conforme descrito acima.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 12 a 14 verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
em
Seja uma função derivável. Verifique que
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
tenha um ponto de inflexão e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja -2 .