Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. Aqui, vamos trabalhar com cálculo, especificamente análise de funções. Precisamos encontrar o domínio, interceptações com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são os valores de
para os quais a função está definida.
Sabemos que
só está definida para
. Além disso, o denominador não pode ser zero, então
, ou seja,
. Como
,
.
Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
Interseção com o eixo Y: Isso acontece quando
. Mas nosso domínio é
, então não há interseção com o eixo Y.
Interseção com o eixo X: Aqui,
.
Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja,
. Porém,
não está no domínio, então não há interseção com o eixo X.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical: Acontece onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já vimos que
faz o denominador zero, então temos uma assíntota vertical em:
Assíntota horizontal: Analisamos o limite de
quando
tende ao infinito ou zero.
Então, não há assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos ver se há interseções com as assíntotas.
Assíntota vertical
: Para verificar interseção, calculamos
. Mas
não está no domínio, então não há interseção.
Assíntota horizontal: Não existe, conforme vimos.
Passo 6
Vamos encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos derivar
.
Primeira derivada usando a regra do quociente:
Analisando o sinal de
:
-
quando . -
quando .
Então:
- Crescente:
- Decrescente:
Passo 7
Vamos determinar os máximos e mínimos locais.
Como a derivada muda de sinal em
:
- Mínimo local em
.
Para encontrar o valor:
Então, o mínimo local é
.
Passo 8
Agora, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Precisamos da segunda derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada usando a regra do quociente:
Simplificando:
Analisando o sinal de
:
-
para -
para
Então:
- Concava para cima:
- Concava para baixo:
- Ponto de inflexão: Em
(mesmo sendo uma assíntota vertical)
Passo 9
Por último, vamos fazer um esboço do gráfico com base nas informações encontradas:
- Domínio:
, - Assíntota vertical:
- Crescente:
- Decrescente:
- Mínimo local:
- Concavidade:
- Para cima:
- Para baixo:
- Para cima:
- Sem interseções com os eixos
O gráfico será uma curva que se aproxima da assíntota vertical em
, tem um ponto mínimo em
, cresce para a direita de
e decresce para a esquerda, com a concavidade mudando conforme
passa por 1.
Resposta
Após analisar detalhadamente a função
, concluímos que:
- O domínio é
e . - Não há interseções com os eixos X e Y.
- Existe uma assíntota vertical em
. - A função é decrescente no intervalo
e crescente em . - Há um mínimo local em
. - A concavidade é para baixo em
e para cima em . - O esboço gráfico apresenta uma curva que se aproxima da assíntota vertical em
, com comportamento conforme descrito acima.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 12 a 14 verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
em
Seja
uma função derivável. Verifique que
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.