Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa analisar várias características dela: domínio, interceptos com os eixos, assíntotas, pontos de interseção com essas assíntotas, intervalos onde a função cresce ou decresce, máximos e mínimos, onde o gráfico é côncavo ou convexo, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções.

Passo 2

Domínio da função
Primeiro, vamos descobrir onde a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero. A função tem o denominador , que é sempre positivo, mas não pode ser zero. Então:
Portanto, o domínio é todos os números reais menos .

Passo 3

Interceptos com os eixos
Intercepto com o eixo y: Para encontrar, colocamos :
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto .
Interceptos com o eixo x: Resolvemos :
Então, o único intercepto com o eixo x também é .

Passo 4

Assíntotas
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, ou seja, em .
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando tende ao infinito:
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Interseções com as assíntotas
Interseção com a assíntota vertical : Não há ponto no gráfico porque a função não está definida em .
Interseção com a assíntota horizontal : O ponto de interseção é , que já identificamos como intercepto com os eixos.

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento
Para isso, precisamos da primeira derivada da função:
Usando a regra do quociente:
Analisando o sinal de :
  • quando
  • quando
Portanto:
  • A função cresce em
  • Decresce em

Passo 7

Máximos e Mínimos
Pontos críticos ocorrem onde ou não está definida.
Analisando a derivada:
  • Antes de , (função crescente)
  • Depois de , (função decrescente)
Então, em , temos um ponto de máximo relativo.
Calculando :
Portanto, o ponto máximo é .

Passo 8

Intervalos de concavidade e convexidade
Para isso, vamos calcular a segunda derivada :
Primeiro, lembramos que .
Calculando :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Analisando o sinal de :
Para , (concavo para cima)
Para , (concavo para baixo)

Passo 9

Pontos de inflexão
Ponto onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não está definida.
Em , a segunda derivada não está definida (assim como a função original). Portanto, não há ponto de inflexão real no domínio da função.

Passo 10

Esboço gráfico
Com todas as informações:
  • Dominio: menos
  • Intercepto:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota horizontal:
  • Crescente:
  • Decrescente:
  • Máximo relativo:
  • Concavidade: côncavo para baixo em , côncavo para cima em
  • Sem pontos de inflexão
O gráfico terá uma assíntota vertical em , graças ao denominador, e se aproxima de quando vai para . O ponto máximo está em com valor , e o gráfico atravessa a origem.

Resposta

Analisando a função , temos:
  • Domínio: Todos os números reais menos .
  • Intercepto com os eixos: O único intercepto é .
  • Assíntotas: Vertical em e horizontal em .
  • Crescimento e Decrescimento: Cresce em e decresce em .
  • Máximo Relativo: No ponto .
  • Concavidade: Côncavo para baixo em e côncavo para cima em .
  • Pontos de Inflexão: Não há pontos de inflexão no domínio.
O esboço gráfico apresenta a assíntota vertical em , a assíntota horizontal em , atravessa a origem, alcança um máximo em e se comporta conforme os intervalos de concavidade definidos.

Exercícios relacionados

Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Nos exercícios 12 a 14 verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
em
tenha um ponto de inflexão e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja -2 .
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.