Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa analisar várias características dela: domínio, interceptos com os eixos, assíntotas, pontos de interseção com essas assíntotas, intervalos onde a função cresce ou decresce, máximos e mínimos, onde o gráfico é côncavo ou convexo, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções.
Passo 2
Domínio da função
Primeiro, vamos descobrir onde a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero. A função
tem o denominador
, que é sempre positivo, mas não pode ser zero. Então:
Portanto, o domínio é todos os números reais menos
.
Passo 3
Interceptos com os eixos
Intercepto com o eixo y: Para encontrar, colocamos
:
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto
.
Interceptos com o eixo x: Resolvemos
:
Então, o único intercepto com o eixo x também é
.
Passo 4
Assíntotas
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, ou seja, em
.
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito:
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Interseções com as assíntotas
Interseção com a assíntota vertical
: Não há ponto no gráfico porque a função não está definida em
.
Interseção com a assíntota horizontal
: O ponto de interseção é
, que já identificamos como intercepto com os eixos.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento
Para isso, precisamos da primeira derivada da função:
Usando a regra do quociente:
Analisando o sinal de
:
-
quando -
quando
Portanto:
-
A função cresce em
-
Decresce em
Passo 7
Máximos e Mínimos
Pontos críticos ocorrem onde
ou
não está definida.
Analisando a derivada:
-
Antes de
, (função crescente) -
Depois de
, (função decrescente)
Então, em
, temos um ponto de máximo relativo.
Calculando
:
Portanto, o ponto máximo é
.
Passo 8
Intervalos de concavidade e convexidade
Para isso, vamos calcular a segunda derivada
:
Primeiro, lembramos que
.
Calculando
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Analisando o sinal de
:
Para
,
(concavo para cima)
Para
,
(concavo para baixo)
Passo 9
Pontos de inflexão
Ponto onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não está definida.
Em
, a segunda derivada não está definida (assim como a função original). Portanto, não há ponto de inflexão real no domínio da função.
Passo 10
Esboço gráfico
Com todas as informações:
-
Dominio:
menos -
Intercepto:
-
Assíntota vertical:
-
Assíntota horizontal:
-
Crescente:
-
Decrescente:
-
Máximo relativo:
-
Concavidade: côncavo para baixo em
, côncavo para cima em -
Sem pontos de inflexão
O gráfico terá uma assíntota vertical em
, graças ao denominador, e se aproxima de
quando
vai para
. O ponto máximo está em
com valor
, e o gráfico atravessa a origem.
Resposta
Analisando a função
, temos:
-
Domínio: Todos os números reais menos
. -
Intercepto com os eixos: O único intercepto é
. -
Assíntotas: Vertical em
e horizontal em . -
Crescimento e Decrescimento: Cresce em
e decresce em . -
Máximo Relativo: No ponto
. -
Concavidade: Côncavo para baixo em
e côncavo para cima em . -
Pontos de Inflexão: Não há pontos de inflexão no domínio.
O esboço gráfico apresenta a assíntota vertical em
, a assíntota horizontal em
, atravessa a origem, alcança um máximo em
e se comporta conforme os intervalos de concavidade definidos.
Exercícios relacionados
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Nos exercícios 12 a 14 verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
em
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.