Nos exercícios 12 a 14 verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
em
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida de um jeito diferente quando
é igual a 1 e quando
é diferente de 1. A questão é verificar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que a função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 1. Nossa função é:
Queremos encontrar:
Perceba que se substituíssemos
diretamente, teríamos
, que é uma forma indeterminada. Então, precisamos simplificar essa expressão. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:
Agora, o limite fica mais fácil de calcular:
Passo 3
Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função em
. Sabemos que:
E o limite quando
se aproxima de 1 é
. Como
, isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 1 não é igual ao valor da função em 1.
Resposta
A função
não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função derivável. Verifique que
Seja
a função dada implicitamente pela equação
. Suponha que
seja derivável. Mostre que
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.