Nos exercícios 12 a 14 verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
em

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida de um jeito diferente quando é igual a 1 e quando é diferente de 1. A questão é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que a função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1. Nossa função é:
Queremos encontrar:
Perceba que se substituíssemos diretamente, teríamos , que é uma forma indeterminada. Então, precisamos simplificar essa expressão. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:
Agora, o limite fica mais fácil de calcular:

Passo 3

Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função em . Sabemos que:
E o limite quando se aproxima de 1 é . Como , isso significa que o limite da função quando se aproxima de 1 não é igual ao valor da função em 1.

Resposta

A função não é contínua em .

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Seja uma função derivável. Verifique que
Seja a função dada implicitamente pela equação . Suponha que seja derivável. Mostre que
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.