Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa descobrir várias coisas sobre ela: domínio, onde ela corta os eixos, possíveis assíntotas, intervalos onde a função cresce ou decresce, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas e entender um pouco sobre o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Como estamos trabalhando com uma raiz cúbica, o que está dentro dela, ou seja,
, pode ser qualquer número real porque a raiz cúbica está definida para todos os números reais (positivos, negativos e zero). Então, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
- Interseção com o eixo
: Para isso, a gente coloca na função:
Então, a função corta o eixo
no ponto
.
- Interseções com o eixo
: São os valores de onde :
Portanto, as interseções com o eixo
são nos pontos
e
.
Passo 4
Vamos verificar se existem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando
tende ao infinito ou a menos infinito.
Para a nossa função
, vamos analisar o comportamento para
e
:
Como esse limite tende a
, não há assíntotas horizontais ou verticais. Também não há assíntotas oblíquas, já que o grau do numerador supera em mais de um o do denominador (no caso, não temos uma fração, mas a ideia é a mesma).
Então, não há assíntotas para essa função.
Passo 5
Agora, vamos descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
.
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra do poder e a regra da cadeia:
Para encontrar onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de
:
- Crescimento:
- Decrescimento:
O denominador
é positivo quando
e negativo quando
.
Analisando os intervalos:
-
Para
: -
, então - O sinal de
depende do numerador : -
: ⇒ (cresce) -
: ⇒ (decresce)
-
-
-
Para
: -
, então - O sinal de
depende do numerador : -
: e denominador negativo ⇒ (cresce) -
: e denominador negativo ⇒ (decresce)
-
-
Então, resumindo:
-
Cresce:
-
-
Decresce:
-
Passo 6
Vamos encontrar os máximos e mínimos da função. Para isso, procuramos os pontos onde a derivada
muda de sinal.
Observando os intervalos de crescimento e decrescimento:
-
Em
: - De decresce para cresce ⇒ mínimo local
-
Em
: - De cresce para decresce ⇒ máximo local
-
Em
: - De decresce para cresce ⇒ mínimo local
Calculando os valores:
Portanto:
- Máximo local em
- Mínimos locais em
e
Passo 7
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada
.
Começando com a primeira derivada:
Aplicando a regra do quociente e da cadeia para derivar novamente:
Primeiro, vamos simplificar
:
Agora, derivamos:
Simplificando:
Para determinar a concavidade, observamos o sinal de
:
- Concavo para cima (convexo):
- Concavo para baixo (côncavo):
Identificar os pontos onde
ou muda de sinal nos dará os pontos de inflexão.
Após analisar os termos, percebemos que a concavidade muda em
,
e
.
Então:
-
Conca para cima:
-
-
Concava para baixo:
-
Pontos de inflexão em
,
e
.
Passo 8
Com todas essas informações, vamos fazer um esboço gráfico da função
:
- Domínio: Todos os reais.
- Interseções:
- Eixo
: - Eixo
: e
- Eixo
- Crescimento e Decrescimento:
- Cresce em
e - Decresce em
e
- Cresce em
- Máximos e Mínimos:
- Máximo em
- Mínimos em
e
- Máximo em
- Concavidade:
- Conca para cima em
- Concava para baixo em
- Conca para cima em
- Pontos de inflexão em
, e
O gráfico terá uma forma simétrica em relação ao eixo
, com pontos de mínimo nos extremos
e um pico no meio
.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais, intersecta o eixo
em
e os eixos
em
e
. Não possui assíntotas. Cresce nos intervalos
e
, e decresce em
e
. Possui um máximo local em
e mínimos locais em
e
. O gráfico é côncavo para cima quando
e concavo para baixo quando
, com pontos de inflexão em
,
e
. O esboço gráfico é simétrico, com um pico no meio e mínimos nos extremos.
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Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
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