Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir várias coisas sobre ela: domínio, onde ela corta os eixos, possíveis assíntotas, intervalos onde a função cresce ou decresce, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas e entender um pouco sobre o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Como estamos trabalhando com uma raiz cúbica, o que está dentro dela, ou seja, , pode ser qualquer número real porque a raiz cúbica está definida para todos os números reais (positivos, negativos e zero). Então, o domínio da função é:
íú

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
  • Interseção com o eixo : Para isso, a gente coloca na função:
Então, a função corta o eixo no ponto .
  • Interseções com o eixo : São os valores de onde :
Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 4

Vamos verificar se existem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando tende ao infinito ou a menos infinito.
Para a nossa função , vamos analisar o comportamento para e :
Como esse limite tende a , não há assíntotas horizontais ou verticais. Também não há assíntotas oblíquas, já que o grau do numerador supera em mais de um o do denominador (no caso, não temos uma fração, mas a ideia é a mesma).
Então, não há assíntotas para essa função.

Passo 5

Agora, vamos descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada .
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra do poder e a regra da cadeia:
Para encontrar onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de :
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
O denominador é positivo quando e negativo quando .
Analisando os intervalos:
  1. Para :
    • , então
    • O sinal de depende do numerador :
      • : (cresce)
      • : (decresce)
  2. Para :
    • , então
    • O sinal de depende do numerador :
      • : e denominador negativo ⇒ (cresce)
      • : e denominador negativo ⇒ (decresce)
Então, resumindo:
  • Cresce:
  • Decresce:

Passo 6

Vamos encontrar os máximos e mínimos da função. Para isso, procuramos os pontos onde a derivada muda de sinal.
Observando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Em :
    • De decresce para cresce ⇒ mínimo local
  • Em :
    • De cresce para decresce ⇒ máximo local
  • Em :
    • De decresce para cresce ⇒ mínimo local
Calculando os valores:
Portanto:
  • Máximo local em
  • Mínimos locais em e

Passo 7

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada .
Começando com a primeira derivada:
Aplicando a regra do quociente e da cadeia para derivar novamente:
Primeiro, vamos simplificar :
Agora, derivamos:
Simplificando:
Para determinar a concavidade, observamos o sinal de :
  • Concavo para cima (convexo):
  • Concavo para baixo (côncavo):
Identificar os pontos onde ou muda de sinal nos dará os pontos de inflexão.
Após analisar os termos, percebemos que a concavidade muda em , e .
Então:
  • Conca para cima:
  • Concava para baixo:
Pontos de inflexão em , e .

Passo 8

Com todas essas informações, vamos fazer um esboço gráfico da função :
  1. Domínio: Todos os reais.
  2. Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo : e
  3. Crescimento e Decrescimento:
    • Cresce em e
    • Decresce em e
  4. Máximos e Mínimos:
    • Máximo em
    • Mínimos em e
  5. Concavidade:
    • Conca para cima em
    • Concava para baixo em
  6. Pontos de inflexão em , e
O gráfico terá uma forma simétrica em relação ao eixo , com pontos de mínimo nos extremos e um pico no meio .

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais, intersecta o eixo em e os eixos em e . Não possui assíntotas. Cresce nos intervalos e , e decresce em e . Possui um máximo local em e mínimos locais em e . O gráfico é côncavo para cima quando e concavo para baixo quando , com pontos de inflexão em , e . O esboço gráfico é simétrico, com um pico no meio e mínimos nos extremos.

Exercícios relacionados

tenha um ponto de inflexão e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja -2 .
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.