Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na função . Nosso objetivo é descobrir várias características dessa função, como domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para fazer isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra, cálculo diferencial e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero.
Calculando o discriminante da equação quadrática :
Como o discriminante é negativo, a expressão quadrática nunca é zero e, como o coeficiente de é positivo, a expressão é sempre positiva. Portanto, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , colocamos :
Então, a interseção com o eixo é .
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , resolvemos :
Já vimos que essa equação não tem solução real, então não há interseção com o eixo .

Passo 4

Vamos verificar se a função tem assíntotas verticais ou horizontais.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente nos pontos onde a função não está definida. Mas nosso domínio é todo real, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Para encontrar assíntotas horizontais, calculamos o limite de quando tende a e a :
Como os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais.

Passo 5

Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos encontrar a primeira derivada .
Derivando:
Vamos analisar o sinal de :
O denominador é sempre positivo, então o sinal de depende apenas de :
  • Se (ou seja, ), : a função está crescendo.
  • Se (ou seja, ), : a função está decrescendo.

Passo 6

Para encontrar extremos, analisamos onde a derivada é zero ou não existe. Já vimos que a derivada nunca não existe, então vamos resolver :
Agora, verificamos se é um máximo ou mínimo.
Antes de , a função está decrescendo, e depois está crescendo, então é um ponto de mínimo.
Calculando o valor m��nimo:
Então, temos um mínimo em .

Passo 7

Vamos determinar a segunda derivada para analisar a concavidade.
Primeiro, a primeira derivada é:
Derivando novamente:
Simplificando:
Como é sempre positivo, a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão.

Passo 8

Com todas as informações:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Interseção com : .
  • **Sem interseção com .
  • **Sem assíntotas.
  • Crescimento: Para .
  • Decrescimento: Para .
  • Mínimo: Em .
  • Concavidade: Sempre côncava para cima.
  • **Sem pontos de inflexão.
O gráfico será uma curva que desce até o ponto mínimo em e depois sobe, sempre mantendo a concavidade para cima.

Resposta

A função tem domínio em todos os reais, intercepta o eixo em , não possui interseções com o eixo nem assíntotas. Ela é decrescente para , crescente para , possui um mínimo em , é sempre côncava para cima e não tem pontos de inflex��o. O esboço gráfico reflete essas características.

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Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Determine os extremos absolutos das funções:
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.