Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na função
. Nosso objetivo é descobrir várias características dessa função, como domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para fazer isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra, cálculo diferencial e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero.
Calculando o discriminante da equação quadrática
:
Como o discriminante é negativo, a expressão quadrática nunca é zero e, como o coeficiente de
é positivo, a expressão é sempre positiva. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, colocamos
:
Então, a interseção com o eixo
é
.
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, resolvemos
:
Já vimos que essa equação não tem solução real, então não há interseção com o eixo
.
Passo 4
Vamos verificar se a função tem assíntotas verticais ou horizontais.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente nos pontos onde a função não está definida. Mas nosso domínio é todo real, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Para encontrar assíntotas horizontais, calculamos o limite de
quando
tende a
e a
:
Como os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais.
Passo 5
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos encontrar a primeira derivada
.
Derivando:
Vamos analisar o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo, então o sinal de
depende apenas de
:
- Se
(ou seja, ), : a função está crescendo. - Se
(ou seja, ), : a função está decrescendo.
Passo 6
Para encontrar extremos, analisamos onde a derivada é zero ou não existe. Já vimos que a derivada nunca não existe, então vamos resolver
:
Agora, verificamos se é um máximo ou mínimo.
Antes de
, a função está decrescendo, e depois está crescendo, então
é um ponto de mínimo.
Calculando o valor m��nimo:
Então, temos um mínimo em
.
Passo 7
Vamos determinar a segunda derivada
para analisar a concavidade.
Primeiro, a primeira derivada é:
Derivando novamente:
Simplificando:
Como é sempre positivo, a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão.
Passo 8
Com todas as informações:
- Domínio: Todos os números reais.
- Interseção com
: . - **Sem interseção com
. - **Sem assíntotas.
- Crescimento: Para
. - Decrescimento: Para
. - Mínimo: Em
. - Concavidade: Sempre côncava para cima.
- **Sem pontos de inflexão.
O gráfico será uma curva que desce até o ponto mínimo em
e depois sobe, sempre mantendo a concavidade para cima.
Resposta
A função
tem domínio em todos os reais, intercepta o eixo
em
, não possui interseções com o eixo
nem assíntotas. Ela é decrescente para
, crescente para
, possui um mínimo em
, é sempre côncava para cima e não tem pontos de inflex��o. O esboço gráfico reflete essas características.
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Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Determine os extremos absolutos das funções:
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.