Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função . Nosso objetivo é determinar várias propriedades dessa função, como domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções, derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Dominio da função: O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos a expressão . O expoente indica uma raiz cúbica, que está definida para qualquer número real, já que raízes ímpares aceitam negativos e positivos. Além disso, elevar ao quadrado torna o valor dentro da raiz sempre não negativo. Portanto, não há restrições para .
Dominio: (todos os números reais)

Passo 3

Interseção com o eixo : Para encontrar onde a função cruza o eixo , calculamos .
Lembrando que
Então,
Interseção com o eixo :

Passo 4

Interseção com o eixo : Para encontrar onde a função cruza o eixo , resolvemos .
Como é sempre não negativo (pois é uma raiz cúbica de um quadrado), não existe solução real para essa equação.
Interseção com o eixo : Não há.

Passo 5

Assíntotas: Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Existem três tipos principais: horizontais, verticais e oblíquas.
  • Assíntotas verticais: Ocorreria se o denominador da função fosse zero ou se houvesse um comportamento infinito sem limite. Aqui, a função está definida para todos os reais e não há divisão, então não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: Observamos o comportamento de quando tende a e .
Como ambos os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas oblíquas: Similarmente, não há crescimento linear que permita uma assíntota oblíqua.
Assíntotas: Nenhuma.

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento: Vamos derivar a função para analisar o comportamento crescente ou decrescente.
Primeiro, a função:
Derivada:
Analisando o sinal da derivada:
  • para
  • para
  • não está definida em
Intervalos:
  • Crescente:
  • Decrescente:

Passo 7

Máximos e Mínimos: Pontos onde a derivada muda de sinal indicam máximos ou mínimos locais.
Em :
  • A derivada muda de negativa para positiva.
  • Isso indica um mínimo.
Calculando o valor:
Mínimo:
Máximos: Não há.

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão: Vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada e determinar a concavidade.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Analisando o sinal da segunda derivada:
  • para todo
Isso indica que a função é sempre côncava para baixo, não havendo pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.
Concavidade:
  • Côncava para baixo em todo o domínio.
Pontos de inflexão: Nenhum.

Resposta

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Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
tenha um ponto de inflexão e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja -2 .
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Determine os extremos absolutos das funções: