Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
. Nosso objetivo é determinar várias propriedades dessa função, como domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Dominio da função: O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos a expressão
. O expoente
indica uma raiz cúbica, que está definida para qualquer número real, já que raízes ímpares aceitam negativos e positivos. Além disso, elevar ao quadrado torna o valor dentro da raiz sempre não negativo. Portanto, não há restrições para
.
Dominio:
(todos os números reais)
Passo 3
Interseção com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo
, calculamos
.
Lembrando que
Então,
Interseção com o eixo
:
Passo 4
Interseção com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo
, resolvemos
.
Como
é sempre não negativo (pois é uma raiz cúbica de um quadrado), não existe solução real para essa equação.
Interseção com o eixo
: Não há.
Passo 5
Assíntotas: Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Existem três tipos principais: horizontais, verticais e oblíquas.
-
Assíntotas verticais: Ocorreria se o denominador da função fosse zero ou se houvesse um comportamento infinito sem limite. Aqui, a função está definida para todos os reais e não há divisão, então não há assíntotas verticais.
-
Assíntotas horizontais: Observamos o comportamento de
quando tende a e .
Como ambos os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais.
- Assíntotas oblíquas: Similarmente, não há crescimento linear que permita uma assíntota oblíqua.
Assíntotas: Nenhuma.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento: Vamos derivar a função para analisar o comportamento crescente ou decrescente.
Primeiro, a função:
Derivada:
Analisando o sinal da derivada:
-
para -
para -
não está definida em
Intervalos:
- Crescente:
- Decrescente:
Passo 7
Máximos e Mínimos: Pontos onde a derivada muda de sinal indicam máximos ou mínimos locais.
Em
:
- A derivada muda de negativa para positiva.
- Isso indica um mínimo.
Calculando o valor:
Mínimo:
Máximos: Não há.
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão: Vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada e determinar a concavidade.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Analisando o sinal da segunda derivada:
-
para todo
Isso indica que a função é sempre côncava para baixo, não havendo pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.
Concavidade:
- Côncava para baixo em todo o domínio.
Pontos de inflexão: Nenhum.
Resposta
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Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Determine os extremos absolutos das funções: