Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . O conteúdo envolve estudo de funções polinomiais, onde iremos determinar o domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e esboço gráfico. Para isso, precisaremos utilizar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas para encontrar taxas de variação e concavidade.

Passo 2

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para polinômios como , não há restrições, pois polinômios estão definidos para todos os números reais.
Domínio: (todos os números reais)

Passo 3

Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, calculamos :
Então, a interseção com o eixo y é o ponto .
Interseções com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, resolvemos :
Esta é uma equação cúbica que pode não ser fácil de resolver analiticamente. Portanto, podemos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as raízes aproximadas.

Passo 4

Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Existem diferentes tipos de assíntotas: horizontais, verticais e oblíquas.
Assíntotas horizontais:
Para polinômios de grau maior que 1, não existem assíntotas horizontais.
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende ao infinito positivo ou negativo em certos valores de . Como é um polinômio, não possui denominadores que possam causar divisões por zero, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas oblíquas:
Assíntotas oblíquas ocorrem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o denominador em funções racionais. Como é um polinômio e não uma função racional, não possui assíntotas oblíquas.
Conclusão: A função não possui assíntotas.

Passo 5

Como a função não possui assíntotas, não há interseções com elas.

Passo 6

Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a primeira derivada e analisar seu sinal.
Calculando a derivada:
Encontrando os pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvendo a equação quadrática:
Analisando o sinal de :
  • Para : Escolha :
Portanto, está decrescendo.
  • Para : Escolha :
Portanto, está crescendo.
  • Para : Escolha :
Portanto, está decrescendo.
Intervalos:
  • Crescendo:
  • Decrescendo: e

Passo 7

Os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa são candidatos a máximos ou mínimos locais.
Para :
A função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Para :
A função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.
Calculando os valores de nesses pontos:
Conclusão:
  • Mínimo local em
  • Máximo local em

Passo 8

Para analisar a concavidade da função, calculamos a segunda derivada .
Calculando a segunda derivada:
Encontrando os pontos de inflexão:
Resolvemos :
Analisando o sinal de :
  • Para : Escolha :
Portanto, é côncava para cima.
  • Para : Escolha :
Portanto, é côncava para baixo.
Conclusão:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:

Passo 9

Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Já identificamos que em a concavidade muda.
Calculando :
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 10

Com todas as informações coletadas:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo y:
    • Eixo x: Aproximadamente e (valores exatos requerem métodos numéricos)
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Crescimento e Decrescimento:
    • Cresce em
    • Decresce em e
  • Máximos e Mínimos:
    • Máximo local em
    • Mínimo local em
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em
    • Côncava para baixo em
  • Ponto de inflexão:
O esboço gráfico ser�� uma curva cúbica com as características acima, apresentando um máximo local, um mínimo local, e uma mudança na concavidade no ponto de inflexão.

Resposta

A função tem domínio em todos os reais, interseções no eixo y em e aproximadamente nos pontos e no eixo x. Não possui assíntotas. Cresce no intervalo e decresce em e com um máximo local em e um mínimo local em . É côncava para cima em e para baixo em , tendo um ponto de inflexão em . O esboço gráfico reflete essas características, mostrando a curva cúbica com os pontos mencionados.

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Determine os extremos absolutos das funções:
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Determine os extremos absolutos das funções: .