Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. O conteúdo envolve estudo de funções polinomiais, onde iremos determinar o domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e esboço gráfico. Para isso, precisaremos utilizar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas para encontrar taxas de variação e concavidade.
Passo 2
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para polinômios como
, não há restrições, pois polinômios estão definidos para todos os números reais.
Domínio:
(todos os números reais)
Passo 3
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, calculamos
:
Então, a interseção com o eixo y é o ponto
.
Interseções com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, resolvemos
:
Esta é uma equação cúbica que pode não ser fácil de resolver analiticamente. Portanto, podemos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as raízes aproximadas.
Passo 4
Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Existem diferentes tipos de assíntotas: horizontais, verticais e oblíquas.
Assíntotas horizontais:
Para polinômios de grau maior que 1, não existem assíntotas horizontais.
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende ao infinito positivo ou negativo em certos valores de
. Como
é um polinômio, não possui denominadores que possam causar divisões por zero, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas oblíquas:
Assíntotas oblíquas ocorrem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o denominador em funções racionais. Como
é um polinômio e não uma função racional, não possui assíntotas oblíquas.
Conclusão: A função
não possui assíntotas.
Passo 5
Como a função não possui assíntotas, não há interseções com elas.
Passo 6
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a primeira derivada
e analisar seu sinal.
Calculando a derivada:
Encontrando os pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvemos
Resolvendo a equação quadrática:
Analisando o sinal de
:
- Para
: Escolha :
Portanto,
está decrescendo.
- Para
: Escolha :
Portanto,
está crescendo.
- Para
: Escolha :
Portanto,
está decrescendo.
Intervalos:
- Crescendo:
- Decrescendo:
e
Passo 7
Os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa são candidatos a máximos ou mínimos locais.
Para
:
A função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
A função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Para
:
A função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.
A função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.
Calculando os valores de
nesses pontos:
Conclusão:
- Mínimo local em
- Máximo local em
Passo 8
Para analisar a concavidade da função, calculamos a segunda derivada
.
Calculando a segunda derivada:
Encontrando os pontos de inflexão:
Resolvemos :
Resolvemos
Analisando o sinal de
:
- Para
: Escolha :
Portanto,
é côncava para cima.
- Para
: Escolha :
Portanto,
é côncava para baixo.
Conclusão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
Passo 9
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Já identificamos que em
a concavidade muda.
Calculando
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 10
Com todas as informações coletadas:
- Domínio:
- Interseções:
- Eixo y:
- Eixo x: Aproximadamente
e (valores exatos requerem métodos numéricos)
- Eixo y:
- Assíntotas: Nenhuma
- Crescimento e Decrescimento:
- Cresce em
- Decresce em
e
- Cresce em
- Máximos e Mínimos:
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Máximo local em
- Concavidade:
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
- Ponto de inflexão:
O esboço gráfico ser�� uma curva cúbica com as características acima, apresentando um máximo local, um mínimo local, e uma mudança na concavidade no ponto de inflexão.
Resposta
A função
tem domínio em todos os reais, interseções no eixo y em
e aproximadamente nos pontos
e
no eixo x. Não possui assíntotas. Cresce no intervalo
e decresce em
e
com um máximo local em
e um mínimo local em
. É côncava para cima em
e para baixo em
, tendo um ponto de inflexão em
. O esboço gráfico reflete essas características, mostrando a curva cúbica com os pontos mencionados.
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