Determine os extremos absolutos das funções: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos absolutos da função no intervalo onde . Isso significa que queremos descobrir os maiores e menores valores que essa função atinge nesse intervalo. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos de uma função, precisamos achar onde sua derivada é igual a zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Assim, vamos começar calculando a derivada de em relação a .
A função é:
A derivada de é e a derivada de usando a regra da cadeia é . Então:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos onde :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Lembrando que , substituímos:
Fatorando :
Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Para :
Dentro do intervalo , sabemos que quando e .
Para :
Resolvendo para :
Dentro do intervalo , quando e .
Então, nossos pontos críticos são:

Passo 5

Além dos pontos críticos, precisamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Então, agora temos todos os pontos para avaliar:

Passo 6

Vamos calcular para cada um desses valores de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Agora, vamos analisar os valores obtidos:
O maior valor de é 1,5 e o menor é -3.

Resposta

Os extremos absolutos da função no intervalo são:
  • Máximo absoluto: em e .
  • Mínimo absoluto: em .

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Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
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