Determine os extremos absolutos das funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos absolutos da função no intervalo onde
. Isso significa que queremos descobrir os maiores e menores valores que essa função atinge nesse intervalo. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos de uma função, precisamos achar onde sua derivada é igual a zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Assim, vamos começar calculando a derivada de
em relação a
.
A função é:
A derivada de é
e a derivada de
usando a regra da cadeia é . Então:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os pontos onde
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Lembrando que , substituímos:
Fatorando
:
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Para
:
Dentro do intervalo , sabemos que
quando
e
.
Dentro do intervalo
Para :
Resolvendo para :
Resolvendo para :
Dentro do intervalo
, quando
e
.
Então, nossos pontos críticos são:
Passo 5
Além dos pontos críticos, precisamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Então, agora temos todos os pontos para avaliar:
Passo 6
Vamos calcular
para cada um desses valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, vamos analisar os valores obtidos:
O maior valor de
é 1,5 e o menor é -3.
Resposta
Os extremos absolutos da função no intervalo
são:
- Máximo absoluto:
em e . - Mínimo absoluto:
em .
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Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
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