Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos a função
e determinar várias características dela, como domínio, interseções, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e até fazer um esboço gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, e um pouco de análise de funções. Vamos por partes!
Passo 2
Domínio da Função
Primeiro, precisamos descobrir onde a função está definida, ou seja, o domínio. A função
envolve uma divisão, então devemos garantir que o denominador não seja zero, porque não dá para dividir por zero.
Então,
não pode ser igual a zero:
Além disso, o exponencial
está definido para todo número real. Assim, o domínio da função é:
Ou seja, todos os números reais exceto zero.
Passo 3
Interseções com os Eixos
Interseção com o Eixo
Para encontrar a interseção com o eixo
, fixamos
. Porém, vimos que
não está no domínio da função. Portanto, não há interseção com o eixo
.
Interseção com o Eixo
Para encontrar a interseção com o eixo
, resolvemos
:
Como
é sempre positivo, não existe
real que satisfaça essa equação. Portanto, não há interseção com o eixo
.
Passo 4
Assíntotas
Assíntota Vertical
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente nos pontos onde o denominador é zero. Já vimos que
faz o denominador zero, então temos uma assíntota vertical em:
Assíntota Horizontal
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite de
quando
tende a
e a
:
Portanto, há uma assíntota horizontal em:
Passo 5
Interseção com as Assíntotas
Interseção com a Assíntota Vertical (
)
A função não está definida em
, então não há interseção com essa assíntota.
Interseção com a Ass��ntota Horizontal (
)
Já vimos que a função nunca é igual a zero, então não há interseção com a assíntota horizontal.
Passo 6
Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada
e analisar seu sinal.
Primeiro, vamos derivar
:
Usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de
:
- O numerador
: é sempre positivo, então o sinal depende de . - O denominador
é sempre positivo, exceto em , que não está no domínio.
Então:
- Se
(ou seja, ), : função está crescendo. - Se
(ou seja, ), : função está decrescendo.
Passo 7
Máximos e Mínimos
Para encontrar máximos e mínimos locais, procuramos onde a derivada é zero ou não existe.
Setando
:
Como
e
nunca são zero, devemos ter:
Agora, verificamos se esse ponto é um máximo ou mínimo. Analisando o sinal da derivada antes e depois de
:
- Para
, : decrescente. - Para
, : crescente.
Então, em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Calculando o valor de
:
Então,
é um ponto de mínimo local.
Passo 8
Intervalos de Concavidade e Ponto de Inflexão
Para determinar a concavidade, calculamos a segunda derivada
e analisamos seu sinal.
Primeiro, derivamos
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Agora, analisamos o sinal de
:
-
é sempre positivo. -
tem o mesmo sinal de .
Então, o sinal de
depende de
e do sinal de
:
-
Para
: -
-
-
: concava para baixo.
-
-
Para
: -
-
-
: concava para cima.
-
-
Para
: -
-
-
: concava para baixo.
-
Ponto de Inflexão
Ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde
.
Resolvendo
:
Então,
é um ponto de inflexão.
Calculando
:
Então,
é o ponto de inflexão.
Passo 9
Esboço Gráfico
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Domínio:
- Assíntotas:
- Vertical em
- Horizontal em
- Vertical em
- Interseções: Nenhuma com os eixos
- Crescimento:
- Cresce em
- Decresce em
- Cresce em
- Mínimo Local: Em
- Concavidade:
- Concava para baixo em
e - Concava para cima em
- Concava para baixo em
- Ponto de Inflexão: Em
O gráfico tem uma assíntota vertical em
e uma horizontal em
. Ele passa por um ponto de mínimo em
, inverte a concavidade em
e se aproxima das assíntotas conforme
tende a
e
.
Resposta
A análise completa da função
nos fornece:
- Domínio:
- Interseções com os Eixos: Nenhuma
- Assíntotas:
- Vertical em
- Horizontal em
- Vertical em
- Interseções com as Assíntotas: Nenhuma
- Intervalos de Crescimento:
- Intervalos de Decrescimento:
- Máximo/Mínimo: Mínimo local em
- Concavidade:
- Concava para baixo em
e - Concava para cima em
- Concava para baixo em
- Pontos de Inflexão:
- Esboço Gráfico: Conforme descrito no passo 9.