Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico. f(x) = e^x / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos a função e determinar várias características dela, como domínio, interseções, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e até fazer um esboço gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, e um pouco de análise de funções. Vamos por partes!

Passo 2

Domínio da Função
Primeiro, precisamos descobrir onde a função está definida, ou seja, o domínio. A função envolve uma divisão, então devemos garantir que o denominador não seja zero, porque não dá para dividir por zero.
Então, não pode ser igual a zero:
Além disso, o exponencial está definido para todo número real. Assim, o domínio da função é:
Ou seja, todos os números reais exceto zero.

Passo 3

Interseções com os Eixos
Interseção com o Eixo
Para encontrar a interseção com o eixo , fixamos . Porém, vimos que não está no domínio da função. Portanto, não há interseção com o eixo .
Interseção com o Eixo
Para encontrar a interseção com o eixo , resolvemos :
Como é sempre positivo, não existe real que satisfaça essa equação. Portanto, não há interseção com o eixo .

Passo 4

Assíntotas
Assíntota Vertical
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente nos pontos onde o denominador é zero. Já vimos que faz o denominador zero, então temos uma assíntota vertical em:
Assíntota Horizontal
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite de quando tende a e a :
Portanto, há uma assíntota horizontal em:

Passo 5

Interseção com as Assíntotas
Interseção com a Assíntota Vertical ( )
A função não está definida em , então não há interseção com essa assíntota.
Interseção com a Ass��ntota Horizontal ( )
Já vimos que a função nunca é igual a zero, então não há interseção com a assíntota horizontal.

Passo 6

Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada e analisar seu sinal.
Primeiro, vamos derivar :
Usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de :
  • O numerador : é sempre positivo, então o sinal depende de .
  • O denominador é sempre positivo, exceto em , que não está no domínio.
Então:
  • Se (ou seja, ), : função está crescendo.
  • Se (ou seja, ), : função está decrescendo.

Passo 7

Máximos e Mínimos
Para encontrar máximos e mínimos locais, procuramos onde a derivada é zero ou não existe.
Setando :
Como e nunca são zero, devemos ter:
Agora, verificamos se esse ponto é um máximo ou mínimo. Analisando o sinal da derivada antes e depois de :
  • Para , : decrescente.
  • Para , : crescente.
Então, em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Calculando o valor de :
Então, é um ponto de mínimo local.

Passo 8

Intervalos de Concavidade e Ponto de Inflexão
Para determinar a concavidade, calculamos a segunda derivada e analisamos seu sinal.
Primeiro, derivamos :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Agora, analisamos o sinal de :
  • é sempre positivo.
  • tem o mesmo sinal de .
Então, o sinal de depende de e do sinal de :
  • Para :
    • : concava para baixo.
  • Para :
    • : concava para cima.
  • Para :
    • : concava para baixo.
Ponto de Inflexão
Ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde .
Resolvendo :
Então, é um ponto de inflexão.
Calculando :
Então, é o ponto de inflexão.

Passo 9

Esboço Gráfico
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Domínio:
  • Assíntotas:
    • Vertical em
    • Horizontal em
  • Interseções: Nenhuma com os eixos
  • Crescimento:
    • Cresce em
    • Decresce em
  • Mínimo Local: Em
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em e
    • Concava para cima em
  • Ponto de Inflexão: Em
O gráfico tem uma assíntota vertical em e uma horizontal em . Ele passa por um ponto de mínimo em , inverte a concavidade em e se aproxima das assíntotas conforme tende a e .

Resposta

A análise completa da função nos fornece:
  • Domínio:
  • Interseções com os Eixos: Nenhuma
  • Assíntotas:
    • Vertical em
    • Horizontal em
  • Interseções com as Assíntotas: Nenhuma
  • Intervalos de Crescimento:
  • Intervalos de Decrescimento:
  • Máximo/Mínimo: Mínimo local em
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em e
    • Concava para cima em
  • Pontos de Inflexão:
  • Esboço Gráfico: Conforme descrito no passo 9.

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