Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função e precisamos determinar várias características dela, como domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções racionais, derivadas para analisar crescimento e concavidade, e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Sabemos que uma fração está indefinida quando o denominador é zero. Então, vamos resolver :
Portanto, o domínio é todos os números reais exceto :
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
Interseção com o eixo :
Isso acontece quando . Porém, no nosso caso, não está no domínio. Então, não há interseção com o eixo .
Interseções com o eixo :
Para encontrar isso, resolvemos :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical:
Ocorre onde o denominador é zero, ou seja, . Então, há uma assíntota vertical em .
Assíntota horizontal:
Para encontrar, analisamos o comportamento de quando tende para o infinito.
Quando tende para , e tendem a zero. Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos encontrar as interseções com as assíntotas.
Interseção com a assíntota vertical :
Para isso, avaliamos o limite de quando se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.
Não há um ponto real de interseção com a assíntota vertical, apenas uma aproximação infinita.
Interseção com a assíntota horizontal :
Resolvemos :
Então, a interseção é no ponto .

Passo 6

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos da primeira derivada .
Primeiro, calculamos :
Derivando termo a termo:
Para saber onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de :
Os pontos críticos ocorrem onde ou não está definida. Já sabemos que não está no domínio.
Resolvendo :
Agora, analisamos os intervalos divididos por :
  1. Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinal: (Crescente)
  2. Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinal: (Decrescente)
  3. Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinal: (Crescente)
Então:
  • Cresce em e
  • Decresce em

Passo 7

Vamos identificar os máximos e mínimos da função.
Sabemos que em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular o valor mínimo:
Então, há um mínimo local em .
Não há máximos locais, apenas o mínimo encontrado.

Passo 8

Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão usando a segunda derivada .
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Derivando novamente:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Agora, analisamos o sinal de nos intervalos divididos por :
  1. Para :
    • Numerador: quando
    • Denominador:
    • Sinal: → Concava para cima
  2. Para :
    • Numerador: quando
    • Denominador:
    • Sinal: → Concava para baixo
Então:
  • Concava para cima em
  • Concava para baixo em
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 9

Por último, vamos esboçar o gráfico com todas as informações que encontramos:
  • Domínio:
  • Interseções: com o eixo em e ; sem interseção com o eixo
  • Assíntotas: vertical em e horizontal em
  • Interseção com assíntota horizontal:
  • Crescimento: e
  • Decrescimento:
  • Mínimo local:
  • Concavidade: para cima em e para baixo em
  • Ponto de inflexão: em
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da função, respeitando as assíntotas e os comportamentos nos intervalos definidos.

Resposta

A função possui domínio , interseções com o eixo nos pontos e , assíntotas vertical em e horizontal em , interseção com a assíntota horizontal em , cresce nos intervalos e , decresce em , possui um mínimo local em , é concava para cima em e concava para baixo em , com ponto de inflexão em . O esboço do gráfico segue essas características.

Exercícios relacionados

Determine os extremos absolutos das funções: .
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.