Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função
e precisamos determinar várias características dela, como domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções racionais, derivadas para analisar crescimento e concavidade, e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Sabemos que uma fração está indefinida quando o denominador é zero. Então, vamos resolver
:
Portanto, o domínio é todos os números reais exceto
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
Interseção com o eixo
:
Isso acontece quando . Porém, no nosso caso,
não está no domínio. Então, não há interseção com o eixo
.
Isso acontece quando
Interseções com o eixo
:
Para encontrar isso, resolvemos :
Para encontrar isso, resolvemos
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as interseções com o eixo
são nos pontos
e
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical:
Ocorre onde o denominador é zero, ou seja, . Então, há uma assíntota vertical em
.
Ocorre onde o denominador é zero, ou seja,
Assíntota horizontal:
Para encontrar, analisamos o comportamento de quando
tende para o infinito.
Para encontrar, analisamos o comportamento de
Quando
tende para
,
e
tendem a zero. Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Vamos encontrar as interseções com as assíntotas.
Interseção com a assíntota vertical
:
Para isso, avaliamos o limite de quando
se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.
Para isso, avaliamos o limite de
Não há um ponto real de interseção com a assíntota vertical, apenas uma aproximação infinita.
Interseção com a assíntota horizontal
:
Resolvemos :
Resolvemos
Então, a interseção é no ponto
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos da primeira derivada
.
Primeiro, calculamos
:
Derivando termo a termo:
Para saber onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de
:
Os pontos críticos ocorrem onde
ou não está definida. Já sabemos que
não está no domínio.
Resolvendo
:
Agora, analisamos os intervalos divididos por
:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Sinal:
→ (Crescente)
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Sinal:
→ (Decrescente)
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Sinal:
→ (Crescente)
- Numerador:
Então:
- Cresce em
e - Decresce em
Passo 7
Vamos identificar os máximos e mínimos da função.
Sabemos que em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular o valor mínimo:
Então, há um mínimo local em
.
Não há máximos locais, apenas o mínimo encontrado.
Passo 8
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão usando a segunda derivada
.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Derivando novamente:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Agora, analisamos o sinal de
nos intervalos divididos por
:
-
Para
: - Numerador:
quando - Denominador:
- Sinal:
→ Concava para cima
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
quando - Denominador:
- Sinal:
→ Concava para baixo
- Numerador:
Então:
- Concava para cima em
- Concava para baixo em
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 9
Por último, vamos esboçar o gráfico com todas as informações que encontramos:
- Domínio:
- Interseções: com o eixo
em e ; sem interseção com o eixo - Assíntotas: vertical em
e horizontal em - Interseção com assíntota horizontal:
- Crescimento:
e - Decrescimento:
- Mínimo local:
- Concavidade: para cima em
e para baixo em - Ponto de inflexão: em
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da função, respeitando as assíntotas e os comportamentos nos intervalos definidos.
Resposta
A função
possui domínio
, interseções com o eixo
nos pontos
e
, assíntotas vertical em
e horizontal em
, interseção com a assíntota horizontal em
, cresce nos intervalos
e
, decresce em
, possui um mínimo local em
, é concava para cima em
e concava para baixo em
, com ponto de inflexão em
. O esboço do gráfico segue essas características.
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Determine os extremos absolutos das funções:
.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.