Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
. Vamos determinar várias características dela, como domínio, interseções, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de conceitos de funções, derivadas para encontrar crescimento/decrescimento e concavidade, e um pouquinho de análise gráfica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos uma raiz cúbica de
. Como a raiz cúbica está definida para todo número real, não há restrições. Além disso, o termo
também está definido para todo
. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos achar as interseções com os eixos.
- Interseção com o eixo
: É o valor de .
Então, a interseção com o eixo
é no ponto
.
- Interseções com o eixo
: São os valores de para os quais .
Como o produto é zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
-
⟹ ⟹ -
⟹
Então, as interseções com o eixo
são nos pontos
e
.
Passo 4
Vamos verificar se existem assíntotas na função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
-
Assíntotas verticais: São devidas a pontos onde a função não está definida, mas já vimos que o domínio é todo real, então não há assíntotas verticais.
-
Assíntotas horizontais: Examinamos o comportamento da função quando
tende a .
Para
grande,
se comporta como
, então a função cresce sem limites. Não há limite finito, então não há assíntotas horizontais.
- Assíntotas oblíquas: Também não existem, pois o grau de
sugere crescimento polynomial sem aproximação por linhas retas.
Portanto, a função não possui assíntotas.
Passo 5
Como não há assíntotas, não temos interseções com elas. Portanto, podemos pular este passo.
Passo 6
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decréscimo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função
e analisar onde ela é positiva (crescimento) ou negativa (decréscimo).
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Aplicamos a regra do produto:
Agora, analisamos o sinal de
:
- O denominador
tem o mesmo sinal de . - O numerador
muda de sinal quando ⟹ .
Então:
- Para
: Numerador negativo, denominador negativo ⇒ → Cresce. - Para
: Numerador positivo, denominador negativo ⇒ → Decresce. - Para
: Numerador positivo, denominador positivo ⇒ → Cresce.
Então:
- Cresce em
e - Decresce em
Passo 7
Vamos encontrar os máximos e mínimos locais. Esses ocorrem onde a derivada primeira muda de sinal.
Observando a derivada
:
- Em
, muda de positivo para negativo ⇒ Máximo local. - Em
, precisamos verificar o comportamento. A derivada tende a ou , mas como a função está crescendo em ambos os lados de , não há máximo ou mínimo aqui.
Calculando o valor do máximo em
:
Então, temos um máximo local em
.
Não há mínimos locais.
Passo 8
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada
e verificamos onde ela muda de sinal.
Primeiro, lembrando que:
Calculamos
:
Para simplificar, usamos a regra do quociente:
Agora, analisamos onde
:
Então, temos um possível ponto de inflexão em
.
Analisando o sinal de
:
- Para
: ⇒ → Côncavo para baixo. - Para
: ⇒ → Côncavo para cima.
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 9
Com todas as informações coletadas, podemos fazer um esboço gráfico:
- Domínio: Todo real.
- Interseções:
e . - Crescimento: Cresce em
e . - Decréscimo: Decresce em
. - Máximo local: Em
. - Concavidade: Côncavo para baixo em
e côncavo para cima em . - Ponto de inflexão: Em
.
O gráfico começará no infinito negativo, passará pelo máximo local, descerá até o ponto
, subirá novamente cruzando a origem, passando pelo ponto de inflexão e continuando a subir para o infinito positivo.
Resposta
A função
possui domínio
, intersecta os eixos nos pontos
e
, não possui assíntotas, cresce em
e
, decresce em
, tem um máximo local em
, é côncava para baixo em
e para cima em
, com um ponto de inflexão em
. O esboço do gráfico reflete essas características, iniciando no infinito negativo, passando pelo máximo, descendo até
, subindo novamente através da origem, passando pelo ponto de inflexão e seguindo para o infinito positivo.
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Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para o esboço do gráfico de uma função
, sugerimos o roteiro:
d) calcular os limites laterais de , em
, nos casos:
(i) , mas
é extremo de um dos intervalos que compõem
.
(ii) , mas
não é contínua em
.
d) calcular os limites laterais de
(i)
(ii)
Para o esboço do gráfico de uma função
, sugerimos o roteiro:
e) calcular os limites para .
e) calcular os limites para