Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função . Vamos determinar várias características dela, como domínio, interseções, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de conceitos de funções, derivadas para encontrar crescimento/decrescimento e concavidade, e um pouquinho de análise gráfica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos uma raiz cúbica de . Como a raiz cúbica está definida para todo número real, não há restrições. Além disso, o termo também está definido para todo . Então, o domínio é:

Passo 3

Agora, vamos achar as interseções com os eixos.
  • Interseção com o eixo : É o valor de .
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
  • Interseções com o eixo : São os valores de para os quais .
Como o produto é zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Então, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 4

Vamos verificar se existem assíntotas na função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
  • Assíntotas verticais: São devidas a pontos onde a função não está definida, mas já vimos que o domínio é todo real, então não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: Examinamos o comportamento da função quando tende a .
Para grande, se comporta como , então a função cresce sem limites. Não há limite finito, então não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas oblíquas: Também não existem, pois o grau de sugere crescimento polynomial sem aproximação por linhas retas.
Portanto, a função não possui assíntotas.

Passo 5

Como não há assíntotas, não temos interseções com elas. Portanto, podemos pular este passo.

Passo 6

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decréscimo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescimento) ou negativa (decréscimo).
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Aplicamos a regra do produto:
Agora, analisamos o sinal de :
  • O denominador tem o mesmo sinal de .
  • O numerador muda de sinal quando .
Então:
  • Para : Numerador negativo, denominador negativo ⇒ → Cresce.
  • Para : Numerador positivo, denominador negativo ⇒ → Decresce.
  • Para : Numerador positivo, denominador positivo ⇒ → Cresce.
Então:
  • Cresce em e
  • Decresce em

Passo 7

Vamos encontrar os máximos e mínimos locais. Esses ocorrem onde a derivada primeira muda de sinal.
Observando a derivada :
  • Em , muda de positivo para negativo ⇒ Máximo local.
  • Em , precisamos verificar o comportamento. A derivada tende a ou , mas como a função está crescendo em ambos os lados de , não há máximo ou mínimo aqui.
Calculando o valor do máximo em :
Então, temos um máximo local em .
Não há mínimos locais.

Passo 8

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada e verificamos onde ela muda de sinal.
Primeiro, lembrando que:
Calculamos :
çã
Para simplificar, usamos a regra do quociente:
Agora, analisamos onde :
Então, temos um possível ponto de inflexão em .
Analisando o sinal de :
  • Para : → Côncavo para baixo.
  • Para : → Côncavo para cima.
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 9

Com todas as informações coletadas, podemos fazer um esboço gráfico:
  • Domínio: Todo real.
  • Interseções: e .
  • Crescimento: Cresce em e .
  • Decréscimo: Decresce em .
  • Máximo local: Em .
  • Concavidade: Côncavo para baixo em e côncavo para cima em .
  • Ponto de inflexão: Em .
O gráfico começará no infinito negativo, passará pelo máximo local, descerá até o ponto , subirá novamente cruzando a origem, passando pelo ponto de inflexão e continuando a subir para o infinito positivo.

Resposta

A função possui domínio , intersecta os eixos nos pontos e , não possui assíntotas, cresce em e , decresce em , tem um máximo local em , é côncava para baixo em e para cima em , com um ponto de inflexão em . O esboço do gráfico reflete essas características, iniciando no infinito negativo, passando pelo máximo, descendo até , subindo novamente através da origem, passando pelo ponto de inflexão e seguindo para o infinito positivo.

Exercícios relacionados

Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para o esboço do gráfico de uma função , sugerimos o roteiro:
d) calcular os limites laterais de , em , nos casos:
(i) , mas é extremo de um dos intervalos que compõem .
(ii) , mas não é contínua em .
Para o esboço do gráfico de uma função , sugerimos o roteiro:
e) calcular os limites para .