Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. A gente vai descobrir várias coisas sobre essa função, como onde ela está definida (domínio), onde ela corta os eixos, se tem assíntotas, onde ela cresce ou decresce, e mais. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, derivadas para determinar crescimento/decrescimento e concavidade, e um pouco de geometria para o esboço do gráfico.
Passo 2
Domínio da Função
Primeiro, vamos achar o domínio da função
.
A função logarítmica
está definida quando
.
Então, precisamos que:
Como
é sempre positivo ou zero,
sempre será maior que zero para qualquer valor real de
.
Conclusão: O domínio de
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Interseções com os Eixos
Interseção com o Eixo
:
Para encontrar onde a função corta o eixo
, avaliamos
:
Portanto, a interseção com o eixo
é no ponto
.
Interseções com o Eixo
:
Para encontrar onde a função corta o eixo
, resolvemos
:
Logo, a única interseção com o eixo
é no ponto
, que coincide com a interseção com o eixo
.
Passo 4
Assíntotas
Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
Para funções logarítmicas como
, geralmente analisamos quando o argumento
se aproxima de zero ou infinito.
Assíntota Vertical:
Verificamos onde
se aproxima de zero:
Assíntota Horizontal:
Analisamos o limite de
quando
vai para
:
Não existe um valor finito para o qual a função se aproxima, então não há assíntotas horizontais.
Conclusão: A função
não possui assíntotas.
Passo 5
Interseções com as Assíntotas
Como determinamos no passo anterior que não existem assíntotas para essa função, não há interseções com assíntotas.
Passo 6
Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos calcular a derivada de
:
Agora, analisamos o sinal de
:
- Crescimento:
- Decrescimento:
Conclusão:
- A função cresce quando
. - A função decresce quando
.
Passo 7
Máximos e Mínimos
Para identificar máximos e mínimos, observamos onde a derivada
muda de sinal.
Ponto crítico em
:
- Para
, (decresce). - Para
, (cresce).
Isso indica que
é um ponto de mínimo.
Calculando o valor da função no ponto:
Conclusão: A função possui um mínimo local em
.
Passo 8
Concavidade e Convexidade
Para determinar onde a função é côncava ou convexa, calculamos a segunda derivada:
Agora, analisamos o sinal de
:
- Concavidade para Cima (Convava):
- Concavidade para Baixo (Côncava):
Conclusão:
- A função é côncava para cima quando
. - A função é côncava para baixo quando
ou .
Passo 9
Pontos de Inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Encontramos onde
:
Vamos verificar a mudança de concavidade nesses pontos:
-
Para
: - À esquerda de -1 (
): - À direita de -1 (
):
Mudança de concavidade de para baixo para para cima. - À esquerda de -1 (
-
Para
: - À esquerda de 1 (
): - À direita de 1 (
):
Mudança de concavidade de para cima para para baixo. - À esquerda de 1 (
Conclusão: Existem pontos de inflexão em
e
.
Passo 10
Esboço Gráfico
Com todas as informações obtidas até agora, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Domínio:
(todos os reais) - Interseção com os Eixos:
- Crescimento: Para
- Decrescimento: Para
- Mínimo Local: Em
- Concavidade:
- Côncava para cima:
- Côncava para baixo:
e
- Côncava para cima:
- Pontos de Inflexão:
e
O gráfico terá uma forma simétrica em relação ao eixo
, com um ponto mínimo no centro e mudando sua concavidade nos pontos
e
, sem assíntotas.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais, intercepta os eixos no ponto
, não possui assíntotas, cresce para
e decresce para
com um mínimo em
. Ela é côncava para cima no intervalo
e côncava para baixo nos intervalos
e
, apresentando pontos de inflexão em
e
. O esboço gráfico reflete essas características de simetria, crescimento, concavidade e pontos de inflexão mencionados.
Exercícios relacionados
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Determine os extremos absolutos das funções:
.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para o esboço do gráfico de uma função
, sugerimos o roteiro:
d) calcular os limites laterais de , em
, nos casos:
(i) , mas
é extremo de um dos intervalos que compõem
.
(ii) , mas
não é contínua em
.
d) calcular os limites laterais de
(i)
(ii)