Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . A gente vai descobrir várias coisas sobre essa função, como onde ela está definida (domínio), onde ela corta os eixos, se tem assíntotas, onde ela cresce ou decresce, e mais. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, derivadas para determinar crescimento/decrescimento e concavidade, e um pouco de geometria para o esboço do gráfico.

Passo 2

Domínio da Função
Primeiro, vamos achar o domínio da função .
A função logarítmica está definida quando .
Então, precisamos que:
Como é sempre positivo ou zero, sempre será maior que zero para qualquer valor real de .
Conclusão: O domínio de é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Interseções com os Eixos
Interseção com o Eixo :
Para encontrar onde a função corta o eixo , avaliamos :
Portanto, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseções com o Eixo :
Para encontrar onde a função corta o eixo , resolvemos :
Logo, a única interseção com o eixo é no ponto , que coincide com a interseção com o eixo .

Passo 4

Assíntotas
Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
Para funções logarítmicas como , geralmente analisamos quando o argumento se aproxima de zero ou infinito.
Assíntota Vertical:
Verificamos onde se aproxima de zero:
ããáí
Assíntota Horizontal:
Analisamos o limite de quando vai para :
Não existe um valor finito para o qual a função se aproxima, então não há assíntotas horizontais.
Conclusão: A função não possui assíntotas.

Passo 5

Interseções com as Assíntotas
Como determinamos no passo anterior que não existem assíntotas para essa função, não há interseções com assíntotas.

Passo 6

Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos calcular a derivada de :
Agora, analisamos o sinal de :
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
Conclusão:
  • A função cresce quando .
  • A função decresce quando .

Passo 7

Máximos e Mínimos
Para identificar máximos e mínimos, observamos onde a derivada muda de sinal.
Ponto crítico em :
  • Para , (decresce).
  • Para , (cresce).
Isso indica que é um ponto de mínimo.
Calculando o valor da função no ponto:
Conclusão: A função possui um mínimo local em .

Passo 8

Concavidade e Convexidade
Para determinar onde a função é côncava ou convexa, calculamos a segunda derivada:
Agora, analisamos o sinal de :
  • Concavidade para Cima (Convava):
  • Concavidade para Baixo (Côncava):
Conclusão:
  • A função é côncava para cima quando .
  • A função é côncava para baixo quando ou .

Passo 9

Pontos de Inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Encontramos onde :
Vamos verificar a mudança de concavidade nesses pontos:
  • Para :
    • À esquerda de -1 ( ):
    • À direita de -1 ( ):
    Mudança de concavidade de para baixo para para cima.
  • Para :
    • À esquerda de 1 ( ):
    • À direita de 1 ( ):
    Mudança de concavidade de para cima para para baixo.
Conclusão: Existem pontos de inflexão em e .

Passo 10

Esboço Gráfico
Com todas as informações obtidas até agora, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Domínio: (todos os reais)
  • Interseção com os Eixos:
  • Crescimento: Para
  • Decrescimento: Para
  • Mínimo Local: Em
  • Concavidade:
    • Côncava para cima:
    • Côncava para baixo: e
  • Pontos de Inflexão: e
O gráfico terá uma forma simétrica em relação ao eixo , com um ponto mínimo no centro e mudando sua concavidade nos pontos e , sem assíntotas.

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais, intercepta os eixos no ponto , não possui assíntotas, cresce para e decresce para com um mínimo em . Ela é côncava para cima no intervalo e côncava para baixo nos intervalos e , apresentando pontos de inflexão em e . O esboço gráfico reflete essas características de simetria, crescimento, concavidade e pontos de inflexão mencionados.

Exercícios relacionados

Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Determine os extremos absolutos das funções: .
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Para o esboço do gráfico de uma função , sugerimos o roteiro:
d) calcular os limites laterais de , em , nos casos:
(i) , mas é extremo de um dos intervalos que compõem .
(ii) , mas não é contínua em .