Para o esboço do gráfico de uma função
, sugerimos o roteiro:
e) calcular os limites para
.
e) calcular os limites para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para calcular os limites da função
quando
tende para
e para
. Isso faz parte do estudo de limites no cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função quando os valores de
ficam muito grandes ou muito pequenos. Para fazer isso, precisamos analisar como os termos da função se comportam quando
cresce sem limites ou diminui sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular um limite quando
tende para
ou
. Essencialmente, queremos saber qual valor
se aproxima à medida que
fica cada vez maior positivamente (
) ou cada vez menor negativamente (
).
Passo 3
Agora, vamos considerar a estrutura da função
. Normalmente, ela pode ser um polinômio, uma função racional, exponencial, etc. A abordagem para calcular os limites varia um pouco dependendo do tipo de função, mas a ideia geral é identificar quais termos dominam o comportamento da função para
muito grande ou muito pequeno.
Passo 4
Vamos supor que
seja uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para calcular os limites nessas situações, comparamos os graus dos polinômios no numerador e no denominador:
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite tende a
ou , dependendo dos coeficientes. - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador for menor, o limite é zero.
Passo 5
Por exemplo, suponha que
. Aqui, os graus do numerador e denominador são ambos 2.
- Como os graus são iguais, o limite quando
tende para e para será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau: .
Passo 6
Se a função fosse
, o grau do numerador é 3 e o do denominador é 2.
- Como o grau do numerador é maior, os limites tanto para
quanto para tenderiam a ou , dependendo do sinal do coeficiente líder. Aqui, como o coeficiente líder é positivo (2), ambos os limites seriam .
Passo 7
Por outro lado, se tivermos
, o grau do numerador é 1 e o do denominador é 2.
- O grau do numerador é menor que o do denominador, então os limites para
e serão 0.
Resposta
Prontinho! Assim a gente calcula os limites de
para
tendendo a
e
analisando os termos dominantes da função. Dependendo dos graus dos polinômios no numerador e denominador, determinamos se o limite vai para um número específico ou para infinito.
Exercícios relacionados
Para o esboço do gráfico de uma função
, sugerimos o roteiro:
d) calcular os limites laterais de , em
, nos casos:
(i) , mas
é extremo de um dos intervalos que compõem
.
(ii) , mas
não é contínua em
.
d) calcular os limites laterais de
(i)
(ii)
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Encontre o limite ou demonstre que não existe.