Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente
no ponto
indicado:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
e queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto correspondente a
. Para isso, vamos precisar saber como encontrar a derivada de uma função vetorial e usar isso para determinar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição do ponto na curva quando
. Isso significa que substituímos
por 3 na função vetorial:
Calculando cada componente:
Então, o ponto na curva para
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial, que nos dará a velocidade ou o vetor tangente à curva naquele ponto. Vamos derivar cada componente da função em relação a
:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada em
para encontrar o vetor tangente no ponto:
Esse vetor representa a direção da reta tangente naquele ponto.
Passo 5
Finalmente, sabemos que a equação da reta tangente pode ser expressa como:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto
é dada por: