Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente vec(r)(t) no ponto t0 indicado:
f(t) = ln(t - 1) * i + raiz(t - 2) * j - e^(2 - t) * k, t0 = 3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial e queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto correspondente a t0 = 3. Para isso, vamos precisar saber como encontrar a derivada de uma função vetorial e usar isso para determinar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do ponto na curva quando t = 3. Isso significa que substituímos t por 3 na função vetorial:
Calculando cada componente:
Então, o ponto na curva para t = 3 é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial, que nos dará a velocidade ou o vetor tangente à curva naquele ponto. Vamos derivar cada componente da função em relação a t:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada em t = 3 para encontrar o vetor tangente no ponto:
Esse vetor representa a direção da reta tangente naquele ponto.

Passo 5

Finalmente, sabemos que a equação da reta tangente pode ser expressa como:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto t0 = 3 é dada por:

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