Determine o raio de convergência da série: , onde é um polinômio;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio de convergência de uma série do tipo , onde é um polinômio. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve séries de potências e o conceito de raio de convergência. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão e entender como o comportamento dos coeficientes, que no caso são polinômios, afeta a convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz para quais valores de a série vai convergir. Para encontrá-lo, uma técnica comum é usar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite .
Passo 3
No nosso caso, os coeficientes da série são , onde é um polinômio. Vamos considerar que tem grau , então podemos escrever . Para grandes valores de , o termo dominante será .
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, temos:
L = limk to infty | p(k+1)p(k) | = limk to infty | an (k+1)^n + dotsan k^n + dots |
Como L = limk to infty ( k+1k )^n = limk to infty (1 + 1k)^n = 1^n = 1 vai para o infinito, os termos de menor grau se tornam insignificantes, então:
Passo 5
O raio de convergência rho = 11 = 1 está relacionado a esse limite pela fórmula . Substituindo :