Para a função cos(z), obtenha a respectiva série de potências, com o ponto dado como centro -pi / 2 e o respectivo raio de convergência rho = infinito.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a série de potências da função cos(z), centrada no ponto , e o raio de convergência dessa série é infinito. Isso significa que a série vai funcionar para qualquer valor de z. Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor, que envolve calcular as derivadas da função no ponto central e montar a série a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da série de Taylor para uma função f(z) centrada em a:
Aqui, representa a n-ésima derivada de f avaliada em a, e é o fatorial de n. No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de cos(z) até a quarta ordem, porque as derivadas de funções trigonométricas se repetem a cada quatro passos:
E assim por diante, continuando esse ciclo.

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Vimos que as derivadas de ordem par (como f, , f^(4), etc.) avaliam para 0, enquanto as derivadas de ordem ímpar alternam entre 1 e -1.

Passo 5

Com base nessas avaliações, podemos montar a série de Taylor. Como as derivadas de ordem par são zero, só precisamos considerar as derivadas de ordem ímpar:
Sabendo que , a série fica:

Resposta

A série de potências da função cos(z), centrada em , é dada por:
E como o raio de convergência é infinito, essa série é válida para todo valor de z.

Exercícios relacionados