Para a função , obtenha a respectiva série de potências, com o ponto dado como centro e o respectivo raio de convergência .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a **série de potências** da função , centrada no ponto , e o raio de convergência dessa série é infinito. Isso significa que a série vai funcionar para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos usar o **desenvolvimento em série de Taylor**, que envolve calcular as derivadas da função no ponto central e montar a série a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da **série de Taylor** para uma função centrada em :
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de . No nosso caso, e .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem, porque as derivadas de funções trigonométricas se repetem a cada quatro passos:
E assim por diante, continuando esse ciclo.
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Vimos que as derivadas de ordem par (como , , , etc.) avaliam para , enquanto as derivadas de ordem ímpar alternam entre e .
Passo 5
Com base nessas avaliações, podemos montar a série de Taylor. Como as derivadas de ordem par são zero, só precisamos considerar as derivadas de ordem ímpar:
Sabendo que , a série fica:
Resposta
A série de potências da função , centrada em , é dada por:
E como o raio de convergência é infinito, essa série é válida para todo valor de .
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência da série: , onde é um polinômio;
Descreva os seguintes conjuntos por meio de uma propriedade:
(a) ;
(b) ;
(c)
(d)
(e)
Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente no ponto indicado:
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de .