Para a função
, obtenha a respectiva série de potências, com o ponto dado como centro
e o respectivo raio de convergência
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a série de potências da função
, centrada no ponto
, e o raio de convergência dessa série é infinito. Isso significa que a série vai funcionar para qualquer valor de
. Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor, que envolve calcular as derivadas da função no ponto central e montar a série a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem, porque as derivadas de funções trigonométricas se repetem a cada quatro passos:
E assim por diante, continuando esse ciclo.
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Vimos que as derivadas de ordem par (como
,
,
, etc.) avaliam para
, enquanto as derivadas de ordem ímpar alternam entre
e
.
Passo 5
Com base nessas avaliações, podemos montar a série de Taylor. Como as derivadas de ordem par são zero, só precisamos considerar as derivadas de ordem ímpar:
Sabendo que
, a série fica:
Resposta
A série de potências da função
, centrada em
, é dada por:
E como o raio de convergência é infinito, essa série é válida para todo valor de
.