Para a função , obtenha a respectiva série de potências, com o ponto dado como centro e o respectivo raio de convergência .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a **série de potências** da função , centrada no ponto , e o raio de convergência dessa série é infinito. Isso significa que a série vai funcionar para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos usar o **desenvolvimento em série de Taylor**, que envolve calcular as derivadas da função no ponto central e montar a série a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da **série de Taylor** para uma função centrada em : Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de . No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem, porque as derivadas de funções trigonométricas se repetem a cada quatro passos: E assim por diante, continuando esse ciclo.

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto : Vimos que as derivadas de ordem par (como , , , etc.) avaliam para , enquanto as derivadas de ordem ímpar alternam entre e .

Passo 5

Com base nessas avaliações, podemos montar a série de Taylor. Como as derivadas de ordem par são zero, só precisamos considerar as derivadas de ordem ímpar: Sabendo que , a série fica:

Resposta

A série de potências da função , centrada em , é dada por: E como o raio de convergência é infinito, essa série é válida para todo valor de .

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