Dê um exemplo para cada um dos casos abaixo:
(a) Soma de irracionais que resulta em um número irracional;
(b) Soma de irracionais que resulta em um número racional;
© Produto de irracionais que resulta em um número irracional;
(d) Produto de irracionais que resulta em um número racional.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que dar exemplos em quatro situações diferentes envolvendo a soma e o produto de números irracionais. Para isso, vamos precisar saber o que são números racionais e irracionais, e como essas operações podem resultar em números de tipos distintos.

Passo 2

Primeiro, números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração , onde e são inteiros e . Já os números irracionais não podem ser expressos dessa forma; eles têm casas decimais infinitas e não periódicas. Exemplos de irracionais são e .

Passo 3

Vamos abordar cada parte do exercício separadamente:

(a) Soma de irracionais que resulta em um número irracional

Para somar dois números irracionais e obter outro irracional, podemos simplesmente escolher dois irracionais que não se “cancelam”. Por exemplo:

(b) Soma de irracionais que resulta em um número racional

Aqui, a ideia é escolher dois irracionais que se anulem na soma. Um exemplo clássico:
ú

© Produto de irracionais que resulta em um número irracional

Multiplicar dois irracionais que não resultam em um número racional. Por exemplo:

(d) Produto de irracionais que resulta em um número racional

Nesse caso, queremos que os irracionais se anulem na multiplicação, resultando em um racional. Um exemplo conhecido:
ú

Resposta

(a) é irracional;
(b) é racional;
© é irracional;
(d) é racional.

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