Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z) = z / (z + 1)^3 em torno de z0 = -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de . Isso significa que vamos expandir a função em uma série que inclui termos com potências negativas de . Para isso, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo potências e séries de Laurent.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo . Assim, . Substituindo na função:

Passo 3

Agora, vamos dividir os termos no numerador pelo denominador:
Aqui, simplificamos para .

Passo 4

Observamos que a expressão resultante já está na forma de uma série de Laurent, com termos de potências negativas de (que é ). Os primeiros termos dessa série são:

Resposta

Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de são:

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