Para cada uma das funções abaixo, calcular fx, fyy e verificar que fxy = fyx.
b) f(x, y) = e^(-x / y) + ln(y / x), x > 0, y > 0

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é , onde e . A matéria envolvida aqui são as derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é .
Vamos derivar cada termo em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
Agora, somando as derivadas dos dois termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial segunda em relação a , ou seja, .
Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a , , e depois derivar novamente em relação a .
Primeira derivada em relação a :
Derivando cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
Somando as derivadas:
Agora, vamos derivar em relação a para obter :
Derivando cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
Somando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos verificar se .
Primeiro, calculamos , que é a derivada parcial de em relação a .
Lembrando que:
Derivando em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, calculamos , que é a derivada parcial de em relação a .
Lembrando que:
Derivando em relação a :
Usando a regra do produto:
Comparando e :

Resposta

As derivadas parciais são:
E verificamos que:

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