Para cada uma das funções abaixo, calcular e verificar que .
b)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é , onde e . A matéria envolvida aqui são as derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é .
Vamos derivar cada termo em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
Agora, somando as derivadas dos dois termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial segunda em relação a , ou seja, .
Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a , , e depois derivar novamente em relação a .
Primeira derivada em relação a :
Derivando cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
Somando as derivadas:
Agora, vamos derivar em relação a para obter :
Derivando cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
Somando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos verificar se .
Primeiro, calculamos , que é a derivada parcial de em relação a .
Lembrando que:
Derivando em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, calculamos , que é a derivada parcial de em relação a .
Lembrando que:
Derivando em relação a :
Usando a regra do produto:
Comparando e :

Resposta

As derivadas parciais são:
E verificamos que:

Exercícios relacionados

Resolva o problema de valor inicial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)
Dada a função , pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto , na direção do vetor ;