Para cada uma das funções abaixo, calcular
e verificar que
.
b)
b)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é
, onde
e
. A matéria envolvida aqui são as derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
.
Vamos derivar cada termo em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Agora, somando as derivadas dos dois termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial segunda em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
, e depois derivar novamente em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Derivando cada termo:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Somando as derivadas:
Agora, vamos derivar
em relação a
para obter
:
Derivando cada termo:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Somando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
.
Primeiro, calculamos
, que é a derivada parcial de
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando em relação a
:
Usando a regra do produto:
Agora, calculamos
, que é a derivada parcial de
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando em relação a
:
Usando a regra do produto:
Comparando
e
:
Resposta
As derivadas parciais são:
E verificamos que:
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)
a)
Dada a função
, pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto , na direção do vetor
;
a) Calcular a sua derivada no ponto