Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = e^x * sen(y) + ln(x * y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função . Aqui, a gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Precisamos conhecer as regras básicas de derivação e como aplicar a regra da cadeia e derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Isso significa que vamos derivar tratando como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a novamente, ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de .
Derivando a função original em relação a :

Passo 5

Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista . Isso significa que primeiro derivamos em relação a e depois em relação a .
Já sabemos que:
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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