Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Aqui, a gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Precisamos conhecer as regras básicas de derivação e como aplicar a regra da cadeia e derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Isso significa que vamos derivar
tratando
como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
.
Derivando a função original em relação a
:
Passo 5
Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista
. Isso significa que primeiro derivamos em relação a
e depois em relação a
.
Já sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: