Resolva o problema de valor inicial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de valor inicial. Basicamente, isso significa que a gente precisa encontrar uma função
que satisfaz a equação dada e as condições iniciais fornecidas.
O que vamos precisar:
- Resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem.
- Encontrar a solução geral compostas pela solução da equação homogênea e uma solução particular.
- Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais claro:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Vamos resolver essa equação em duas partes: a solução da equação homogênea e a solução particular.
Equação Homogênea:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois valores de
:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau
, vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde
,
e
são constantes que vamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Organizando por potências de
:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 6
Vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 2 por 2 para eliminar frações:
Agora, subtraindo a Equação 1 da Equação 2 modificada:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 7
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral:
Resposta
A solução correta é a letra d)
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Resolva a equação diferencial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Para cada uma das funções abaixo, calcular
e verificar que
.
b)
b)
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)
a)