Resolva o problema de valor inicial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de valor inicial. Basicamente, isso significa que a gente precisa encontrar uma função que satisfaz a equação dada e as condições iniciais fornecidas.
O que vamos precisar:
  • Resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem.
  • Encontrar a solução geral compostas pela solução da equação homogênea e uma solução particular.
  • Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais claro:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Vamos resolver essa equação em duas partes: a solução da equação homogênea e a solução particular.
Equação Homogênea:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde é um número que precisamos encontrar.
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois valores de :
Assim, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau , vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde , e são constantes que vamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Organizando por potências de :
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Para :
Para :
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 6

Vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeira condição:
Substituindo :
çã
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :
çã
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 2 por 2 para eliminar frações:
çã
Agora, subtraindo a Equação 1 da Equação 2 modificada:
Substituindo na Equação 1:

Passo 7

Agora que temos e , substituímos na solução geral:

Resposta

A solução correta é a letra d)

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Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Resolva a equação diferencial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Para cada uma das funções abaixo, calcular e verificar que .
b)
Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)