Resolva o problema de valor inicial.
2 y'' + 3 y' - 2 y = 14 x^2 - 4 x - 11, y(0) = 0, y'(0) = 0
Marque a alternativa correta:
(a) y(x) = 7/5 e^x - e^(-2 x)/6 + 14 x^2 - 4 x - 11
(b) y(x) = 7/5 * e^x - e^(-2 x)/6 - x^2 + 9x + 8
© y(x) = 186/5 * e^(x/2) - e^(-2x)/5 - 14 * x^2 - 4 * x - 11
(d) y(x) = 186/5 * e^(x/2) - e^(-2x)/5 - 7 * x^2 - 19 * x - 37
(e) y(x) = e^(x/3) - e^(-x)/3 - x^2 + 2x - 17

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de valor inicial. Basicamente, isso significa que a gente precisa encontrar uma função que satisfaz a equação dada e as condições iniciais fornecidas.
O que vamos precisar:
  • Resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem.
  • Encontrar a solução geral compostas pela solução da equação homogênea e uma solução particular.
  • Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais claro:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Vamos resolver essa equação em duas partes: a solução da equação homogênea e a solução particular.
Equação Homogênea:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde é um número que precisamos encontrar.
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois valores de :
Assim, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau , vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde , e são constantes que vamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Organizando por potências de :
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Para :
Para :
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 6

Vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeira condição:
Substituindo :
çã
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :
çã
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 2 por 2 para eliminar frações:
çã
Agora, subtraindo a Equação 1 da Equação 2 modificada:
Substituindo na Equação 1:

Passo 7

Agora que temos e , substituímos na solução geral:

Resposta

A solução correta é a letra d)

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