Calcular a derivada da função z = x^4 - 3*x^2*y^2 + 2*y^3 - 5*x*y + 3*x + 5 no ponto p = (-1, 2), na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a) u = (raiz(3)/2) * i + (1/2) * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , avaliar essas derivadas no ponto dado, e então fazer o produto escalar com o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Vamos substituir e nas derivadas parciais:
Para :
Para :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, temos que calcular a derivada direcional na direção do vetor .
Primeiro, precisamos verificar se é um vetor unitário (ou seja, se tem comprimento 1):
Como o vetor já é unitário, não precisamos normalizá-lo.

Passo 5

A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor de direção :
Fazendo o produto escalar:
Podemos simplificar combinando os termos:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é:

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