Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , avaliar essas derivadas no ponto dado, e então fazer o produto escalar com o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Vamos substituir e nas derivadas parciais:
Para :
Para :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, temos que calcular a derivada direcional na direção do vetor .
Primeiro, precisamos verificar se é um vetor unitário (ou seja, se tem comprimento 1):
Como o vetor já é unitário, não precisamos normalizá-lo.

Passo 5

A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor de direção :
Fazendo o produto escalar:
Podemos simplificar combinando os termos:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é:

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Para cada uma das funções abaixo, calcular e verificar que .
b)
Resolva o problema de valor inicial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Dada a função , pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto , na direção do vetor ;
Mostrar que a funcão tem um único ponto crítico em , e que se trata de um ponto de sela.