Dada a função , pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto , na direção do vetor ;

Passo 1

Beleza, temos uma função e queremos calcular a derivada dessa função no ponto na direção do vetor . Para fazer isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes. Basicamente, a derivada direcional nos diz a taxa de variação da função na direção de um vetor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, precisamos considerar o vetor direção . Para encontrar a derivada direcional, esse vetor precisa ser normalizado, ou seja, ter comprimento 1. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

A derivada direcional de na direção de no ponto é dada pelo produto escalar (dot product) entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)
Para cada uma das funções abaixo, calcular e verificar que .
b)
Mostrar que a funcão tem um único ponto crítico em , e que se trata de um ponto de sela.
Mostrar que a função sobre a região limitada por atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo no ponto .