Dada a função
, pede-se:
a) Calcular a sua derivada no ponto
, na direção do vetor
;
a) Calcular a sua derivada no ponto
Passo 1
Beleza, temos uma função
e queremos calcular a derivada dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes. Basicamente, a derivada direcional nos diz a taxa de variação da função na direção de um vetor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Agora, precisamos considerar o vetor direção
. Para encontrar a derivada direcional, esse vetor precisa ser normalizado, ou seja, ter comprimento 1. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é dada pelo produto escalar (dot product) entre o gradiente de
no ponto
e o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
a)
a)
Para cada uma das funções abaixo, calcular
e verificar que
.
b)
b)
Mostrar que a funcão
tem um único ponto crítico em
, e que se trata de um ponto de sela.
Mostrar que a função
sobre a região limitada por
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo no ponto
.