Para cada uma das funções abaixo, calcular e verificar que .
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais e da função , além de verificar se . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, que nos permitem derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantemos a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é , já que é constante.
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, pois não há nesse termo.
Então:

Passo 4

Vamos agora encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Lembrando que:
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, pois não há nesse termo.
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Lembrando que:
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Resposta

Encontramos que .

Exercícios relacionados

Mostrar que se , então .
Determine se a série converge ou diverge:
(g) . (converge.)
Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
d)
Dados os pontos e , e a função , calcular o ângulo formado pelos vetores e