Para cada uma das funções abaixo, calcular
e verificar que
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais
e
da função
, além de verificar se
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, que nos permitem derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantemos a outra fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é , já que é constante. - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, pois não há nesse termo.
Então:
Passo 4
Vamos agora encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Lembrando que:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, pois não há nesse termo.
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Lembrando que:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é .
Então:
Resposta
Encontramos que
.
Exercícios relacionados
Mostrar que se
, então
.
Determine se a série converge ou diverge:
(g) . (converge.)
(g)
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
d)
d)
Dados os pontos
e
, e a função
, calcular o ângulo
formado pelos vetores
e