Dados os pontos e , e a função , calcular o ângulo formado pelos vetores e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois pontos, e , e uma função . A parada é calcular o ângulo entre os vetores gradiente de nos pontos e . Aqui, estamos trabalhando com gradientes e ângulos entre vetores, que fazem parte do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar o gradiente da função .
  2. Avaliar esse gradiente nos pontos e .
  3. Calcular o ângulo entre os dois vetores resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar nos pontos e .
Para o ponto :
Para o ponto :
Então, temos:

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre os dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar deu zero, isso significa que os vetores são perpendiculares.

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

Exercícios relacionados

Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
d)
Para cada uma das funções abaixo, calcular e verificar que .
a)
Determine se a sequência converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(f) . (converge para 0
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
© . (a sequência diverge e a série diverge.)