Dados os pontos
e
, e a função
, calcular o ângulo
formado pelos vetores
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois pontos,
e
, e uma função
. A parada é calcular o ângulo
entre os vetores gradiente de
nos pontos
e
. Aqui, estamos trabalhando com gradientes e ângulos entre vetores, que fazem parte do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar o gradiente da função
. - Avaliar esse gradiente nos pontos
e . - Calcular o ângulo entre os dois vetores resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente, denotado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar
nos pontos
e
.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Então, temos:
Passo 5
Para encontrar o ângulo
entre os dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar deu zero, isso significa que os vetores são perpendiculares.
Resposta
O ângulo
entre os vetores
e
é de
.
Exercícios relacionados
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
d)
d)
Para cada uma das funções abaixo, calcular
e verificar que
.
a)
a)
Determine se a sequência
converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(f) . (converge para 0
(f)
Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
© . (a sequência diverge e a série diverge.)
©