Mostrar que se
, então
.
Passo 1
Vamos lá! O problema nos pede para mostrar que, se
, então
. Estamos lidando com derivadas parciais e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois substituir na expressão dada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Sabemos que
pode ser reescrita usando propriedades dos logaritmos:
Isso torna mais fácil calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Explicando: derivamos
em relação a
que dá
, e então multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
De maneira similar, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Usamos a mesma técnica da regra da cadeia aplicada a
.
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas parciais encontradas na expressão dada:
Simplificando os termos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge:
(g) . (converge.)
(g)
Para cada uma das funções abaixo, calcular
e verificar que
.
a)
a)
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
d)
d)