Mostrar que se , então .

Passo 1

Vamos lá! O problema nos pede para mostrar que, se , então . Estamos lidando com derivadas parciais e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois substituir na expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Sabemos que pode ser reescrita usando propriedades dos logaritmos:
Isso torna mais fácil calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Explicando: derivamos em relação a que dá , e então multiplicamos pela derivada de em relação a .

Passo 4

De maneira similar, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Usamos a mesma técnica da regra da cadeia aplicada a .

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas parciais encontradas na expressão dada:
Simplificando os termos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Determine se a série converge ou diverge:
(g) . (converge.)
. Determine .
Para cada uma das funções abaixo, calcular e verificar que .
a)
Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
d)