Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor . Aqui, estamos trabalhando com derivadas direcionais e usando o conceito de gradiente para encontrar a direção da maior taxa de variação da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
A derivada direcional de na direção de um vetor é dada por:
onde é o vetor unitário na direção de . Mas, como , a direção do gradiente é a direção da maior taxa de variação, e a derivada direcional nessa direção é igual ao módulo do gradiente:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção de é: