Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor . Aqui, estamos trabalhando com derivadas direcionais e usando o conceito de gradiente para encontrar a direção da maior taxa de variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Para em :
  1. Para em :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A derivada direcional de na direção de um vetor é dada por:
onde é o vetor unitário na direção de . Mas, como , a direção do gradiente é a direção da maior taxa de variação, e a derivada direcional nessa direção é igual ao módulo do gradiente:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções abaixo, calcular e verificar que .
a)
Mostrar que se , então .
Dados os pontos e , e a função , calcular o ângulo formado pelos vetores e
Determine se a sequência converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(f) . (converge para 0