Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio
e esboce esse conjunto no plano cartesiano:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos a função
e queremos descobrir qual é o domínio dela, ou seja, todos os pares
que fazem a função valer alguma coisa. Para isso, vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, quais valores de
e
não causam problemas como divisão por zero ou números imaginários. Vamos precisar usar conceitos de funções, domínio e restrições de radiciação e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da função:
. A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Então,
. Isso nos dá a primeira condição:
Passo 3
Agora, vamos para o denominador:
. A divisão por zero não é permitida, então o denominador não pode ser igual a zero. Então:
Resolvendo essa inequação:
Então,
não pode ser igual a 1 nem a -1.
Passo 4
Vamos resumir as duas condições que encontramos:
-
— isso define uma região no plano onde está acima ou na linha . -
e — isso exclui as linhas verticais e do domínio.
Passo 5
Com essas condições, podemos descrever o domínio
da função
como o conjunto de todos os pares
onde
é maior ou igual a
, e
não é igual a 1 nem a -1. Em termos matemáticos:
Passo 6
Para esboçar esse domínio no plano cartesiano, imagine o seguinte:
- Desenhe a linha
. A região válida será tudo acima ou na própria linha. - Trace as linhas verticais
e . Essas linhas serão excluídas do domínio, então você pode representá-las como linhas tracejadas ou com algum indicativo de exclusão. - A interseção dessas condições mostra a área onde a função
está definida.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que
e
nem
. No plano cartesiano, isso corresponde à região acima ou na linha
, excluindo as linhas verticais
e
.
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Calcule
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio
e esboce esse conjunto no plano cartesiano:
Calcule
.
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.