Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio e esboce esse conjunto no plano cartesiano:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos a função e queremos descobrir qual é o domínio dela, ou seja, todos os pares que fazem a função valer alguma coisa. Para isso, vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, quais valores de e não causam problemas como divisão por zero ou números imaginários. Vamos precisar usar conceitos de funções, domínio e restrições de radiciação e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da função: . A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Então, . Isso nos dá a primeira condição:

Passo 3

Agora, vamos para o denominador: . A divisão por zero não é permitida, então o denominador não pode ser igual a zero. Então:
Resolvendo essa inequação:
Então, não pode ser igual a 1 nem a -1.

Passo 4

Vamos resumir as duas condições que encontramos:
  1. — isso define uma região no plano onde está acima ou na linha .
  2. e — isso exclui as linhas verticais e do domínio.

Passo 5

Com essas condições, podemos descrever o domínio da função como o conjunto de todos os pares onde é maior ou igual a , e não é igual a 1 nem a -1. Em termos matemáticos:

Passo 6

Para esboçar esse domínio no plano cartesiano, imagine o seguinte:
  • Desenhe a linha . A região válida será tudo acima ou na própria linha.
  • Trace as linhas verticais e . Essas linhas serão excluídas do domínio, então você pode representá-las como linhas tracejadas ou com algum indicativo de exclusão.
  • A interseção dessas condições mostra a área onde a função está definida.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que e nem . No plano cartesiano, isso corresponde à região acima ou na linha , excluindo as linhas verticais e .

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Calcule .
Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio e esboce esse conjunto no plano cartesiano:
Calcule .
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.