Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, calcule (se 1 pertencer ao domínio), faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos determinar três coisas sobre ela: o domínio (ou seja, para quais valores de a função está definida), calcular se 1 estiver no domínio, desenhar o gráfico da função e encontrar o conjunto imagem (os possíveis valores de ). Para isso, vamos usar conceitos de funções definidas por partes e análise de intervalos.
Passo 2
Determinar o domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a definição da função:
Percebemos que para qualquer valor real de , a função está definida em pelo menos uma das três partes. Portanto, o domínio é:
íú
Passo 3
Calcular :
Para calcular , precisamos verificar em qual intervalo o valor se encontra. Observando a definição:
Isso significa que pertence ao segundo caso da função, onde . Assim:
Passo 4
Desenhar o gráfico da função:
Vamos analisar cada parte da função separadamente para traçar o gráfico:
Para :
Isso representa uma linha horizontal no nível .
Para :
Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação 1. Vai de até .
Para :
Outra linha horizontal, agora no nível .
Juntando tudo: O gráfico será uma combinação dessas três partes, formando um “M” onde as linhas horizontais conectam-se à reta diagonal.
Passo 5
Determinar o conjunto imagem:
O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Para :
Apenas o valor .
Para :
Os valores de variam de a .
Para :
Apenas o valor .
Combinando todos os intervalos, o conjunto imagem é: