Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, calcule (se 1 pertencer ao domínio), faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
(b)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos determinar três coisas sobre ela: o domínio (ou seja, para quais valores de a função está definida), calcular se 1 estiver no domínio, desenhar o gráfico da função e encontrar o conjunto imagem (os possíveis valores de ). Para isso, vamos usar conceitos de funções definidas por partes e análise de intervalos.

Passo 2

Determinar o domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a definição da função:
Percebemos que para qualquer valor real de , a função está definida em pelo menos uma das três partes. Portanto, o domínio é:
íú

Passo 3

Calcular :
Para calcular , precisamos verificar em qual intervalo o valor se encontra. Observando a definição:
Isso significa que pertence ao segundo caso da função, onde . Assim:

Passo 4

Desenhar o gráfico da função:
Vamos analisar cada parte da função separadamente para traçar o gráfico:
  1. Para :
    • Isso representa uma linha horizontal no nível .
  2. Para :
    • Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação 1. Vai de até .
  3. Para :
    • Outra linha horizontal, agora no nível .
Juntando tudo: O gráfico será uma combinação dessas três partes, formando um “M” onde as linhas horizontais conectam-se à reta diagonal.

Passo 5

Determinar o conjunto imagem:
O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
  1. Para :
    • Apenas o valor .
  2. Para :
    • Os valores de variam de a .
  3. Para :
    • Apenas o valor .
Combinando todos os intervalos, o conjunto imagem é:

Resposta

í

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(d)
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