Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função quadrática
. O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico dessa função, descobrir o conjunto imagem (ou seja, todos os valores que a função pode assumir), identificar onde o gráfico cruza os eixos coordenados e encontrar pontos onde o comportamento do gráfico muda, como o vértice da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos onde o gráfico cruza o eixo y. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o gráfico cruza o eixo y no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde o gráfico cruza o eixo x. Para isso, resolvemos a equação
:
Podemos multiplicar todos os lados por -1 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
:
Então, os pontos de interseção com o eixo x são
e
.
Passo 4
Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto onde a função muda de comportamento. A fórmula para a coordenada x do vértice é:
Para nossa função,
e
:
Agora, substituímos
na função para achar
:
Então, o vértice está em
.
Passo 5
Vamos determinar o conjunto imagem da função. Como a função é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo), o valor máximo de
é o valor de
no vértice. Ou seja:
Portanto, o conjunto imagem é todos os números reais menores ou iguais a 2:
.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola que abre para baixo, com vértice em
. Ele intercepta o eixo y no ponto
e intercepta o eixo x nos pontos
e
. O conjunto imagem da função é
.
Exercícios relacionados
Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(a)
(a)
Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.
(a)
(a)
Considere a função quadrática
, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima. Determine o maior
tal que o gráfico de
não toca o eixo-
quando
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, calcule
(se 1 pertencer ao domínio), faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
(b)
(b)