Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função quadrática . O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico dessa função, descobrir o conjunto imagem (ou seja, todos os valores que a função pode assumir), identificar onde o gráfico cruza os eixos coordenados e encontrar pontos onde o comportamento do gráfico muda, como o vértice da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos onde o gráfico cruza o eixo y. Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o gráfico cruza o eixo y no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde o gráfico cruza o eixo x. Para isso, resolvemos a equação :
Podemos multiplicar todos os lados por -1 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Então, os pontos de interseção com o eixo x são e .

Passo 4

Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto onde a função muda de comportamento. A fórmula para a coordenada x do vértice é:
Para nossa função, e :
Agora, substituímos na função para achar :
Então, o vértice está em .

Passo 5

Vamos determinar o conjunto imagem da função. Como a função é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de é negativo), o valor máximo de é o valor de no vértice. Ou seja:
Portanto, o conjunto imagem é todos os números reais menores ou iguais a 2: .

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que abre para baixo, com vértice em . Ele intercepta o eixo y no ponto e intercepta o eixo x nos pontos e . O conjunto imagem da função é .

Exercícios relacionados

Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(a)
Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.
(a)
Considere a função quadrática , cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima. Determine o maior tal que o gráfico de não toca o eixo- quando .
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, calcule (se 1 pertencer ao domínio), faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
(b)