Considere a função quadrática f(x) = 4*x^2 - 8*x - k, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima. Determine o maior n tal que o gráfico de f não toca o eixo- x quando k < n.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos a função quadrática . Queremos descobrir qual é o maior valor de tal que, quando , o gráfico dessa função não toca o eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as raízes de uma equação quadrática e o discriminante.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma função quadrática tem a forma geral . O gráfico dessa função é uma parábola. Se a parábola não toca o eixo , isso significa que a equação não tem soluções reais.

Passo 3

Para determinar se a equação tem ou não soluções reais, usamos o discriminante, que é calculado pela fórmula:
Se , a equação não tem raízes reais, ou seja, a parábola não toca o eixo .

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes da nossa função:
Agora, substituímos esses valores na fórmula do discriminante:

Passo 5

Queremos que a parábola não toque o eixo , então precisamos que :
Resolvendo essa inequação para :

Resposta

O maior valor de é .

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