Uma empresa produz e vende um determinado tipo de produto. O preço por unidade varia de acordo com a quantidade de unidades produzidas segundo a equação . Determine o valor de para o qual a receita é a maior possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa que vende um produto onde o preço por unidade, que a gente chama de , depende da quantidade produzida, . A relação entre eles está dada pela equação:
Nosso objetivo é achar o valor de que faz a receita ser a maior possível. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções quadráticas e como encontrar o ponto máximo delas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função da receita usando a equação do preço. Sabemos que:
Vamos multiplicar isso para simplificar:
Agora temos a função da receita em termos de .

Passo 3

A função é uma função quadrática do tipo:
No nosso caso, e . Como é negativo, sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que o ponto de vértice será o ponto de máximo.

Passo 4

Para encontrar o ponto onde a receita é máxima, precisamos achar o valor de no vértice da parábola. A fórmula para encontrar a coordenada do vértice de uma parábola é:
Vamos aplicar isso na nossa função.

Passo 5

Substituindo e na fórmula:
Então, o valor de que maximiza a receita é 450 unidades.

Resposta

O valor de que faz a receita ser a maior possível é 450 unidades.

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(b)
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