Uma empresa produz e vende um determinado tipo de produto. O preço
por unidade varia de acordo com a quantidade
de unidades produzidas segundo a equação
. Determine o valor de
para o qual a receita
é a maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa que vende um produto onde o preço por unidade, que a gente chama de
, depende da quantidade produzida,
. A relação entre eles está dada pela equação:
Nosso objetivo é achar o valor de
que faz a receita
ser a maior possível. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções quadráticas e como encontrar o ponto máximo delas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função da receita usando a equação do preço. Sabemos que:
Vamos multiplicar isso para simplificar:
Agora temos a função da receita em termos de
.
Passo 3
A função
é uma função quadrática do tipo:
No nosso caso,
e
. Como
é negativo, sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que o ponto de vértice será o ponto de máximo.
Passo 4
Para encontrar o ponto onde a receita é máxima, precisamos achar o valor de
no vértice da parábola. A fórmula para encontrar a coordenada
do vértice de uma parábola
é:
Vamos aplicar isso na nossa função.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula:
Então, o valor de
que maximiza a receita é 450 unidades.
Resposta
O valor de
que faz a receita
ser a maior possível é 450 unidades.