Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos a função definida por partes . Precisamos descobrir o domínio dessa função, calcular (se 1 estiver no domínio), fazer o gráfico da função e determinar o conjunto imagem. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções definidas por partes e aplicar conceitos básicos de domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função , ela está definida em dois intervalos:
Notamos que a função não está definida exatamente em , pois os intervalos não incluem esse ponto. Portanto, o domínio é todos os entre -3 e 3, exceto .
Passo 3
Agora, vamos calcular . Primeiro, precisamos checar se está no domínio da função. Como 1 está no intervalo , sim, 1 pertence ao domínio. Para calcular , usamos a parte da função que se aplica a nesse intervalo, que é .
Então:
Passo 4
Vamos fazer o gráfico da função. Como a função é definida por partes, precisamos desenhar cada parte separadamente:
Para , a função é . Essa é uma reta com inclinação 3 e intercepto em -2.
Para , a função é . Essa é uma parábola com vértice em .
Lembre-se de que em , a função não está definida, então lá teremos um buraco no gráfico.
Passo 5
Finalmente, vamos determinar o conjunto imagem da função. O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Para com :
Quando :
Quando se aproxima de 0: se aproxima de -2
Então, os valores de nessa parte vão de -11 até, mas sem incluir, -2.
Para com :
Quando (não incluído):
Quando :
A parábola alcança seu valor m��nimo em (com ), mas como 0 não está incluído, o mínimo efetivo é um pouco acima de -4, até chegar em 5.
Portanto, o conjunto imagem é de -11 até 5.
Resposta
Domínio: ,
: -3
Gráfico: [Desenho da reta de -3 a 0 e da parábola de 0 a 3, com um buraco em ]