Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, calcule
(se 1 pertencer ao domínio), faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos a função definida por partes
. Precisamos descobrir o domínio dessa função, calcular
(se 1 estiver no domínio), fazer o gráfico da função e determinar o conjunto imagem. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções definidas por partes e aplicar conceitos básicos de domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a função
, ela está definida em dois intervalos:
Notamos que a função não está definida exatamente em
, pois os intervalos não incluem esse ponto. Portanto, o domínio é todos os
entre -3 e 3, exceto
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Primeiro, precisamos checar se
está no domínio da função. Como 1 está no intervalo
, sim, 1 pertence ao domínio. Para calcular
, usamos a parte da função que se aplica a
nesse intervalo, que é
.
Então:
Passo 4
Vamos fazer o gráfico da função. Como a função é definida por partes, precisamos desenhar cada parte separadamente:
- Para
, a função é . Essa é uma reta com inclinação 3 e intercepto em -2. - Para
, a função é . Essa é uma parábola com vértice em .
Lembre-se de que em
, a função não está definida, então lá teremos um buraco no gráfico.
Passo 5
Finalmente, vamos determinar o conjunto imagem da função. O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
-
Para
com : - Quando
: - Quando
se aproxima de 0: se aproxima de -2 - Então, os valores de
nessa parte vão de -11 até, mas sem incluir, -2.
- Quando
-
Para
com : - Quando
(não incluído): - Quando
: - A parábola alcança seu valor m��nimo em
(com ), mas como 0 não está incluído, o mínimo efetivo é um pouco acima de -4, até chegar em 5.
- Quando
Portanto, o conjunto imagem é de -11 até 5.
Resposta
- Domínio:
, -
: -3 - Gráfico: [Desenho da reta
de -3 a 0 e da parábola de 0 a 3, com um buraco em ] - Conjunto imagem: