(a) Para cada uma das funções abaixo, determine uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier coincide com ela. (Para isto, você deve usar a convolução.)
(i) 1/((omega^2 + 1)^2).
(ii) e^(-omega^2)/((omega^2)+1).
(iii) sen(ω) / (ω * (ω^2 + 1)).
(iv) (sen(omega))^2 / (omega)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para, para cada uma das funções dadas, encontrar uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier é igual à função fornecida. Para isso, vamos usar o conceito de convolução. Basicamente, vamos precisar entender o que é transformada de Fourier, convolução e como elas se relacionam para chegar à resposta final.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
(i)
Primeiro, precisamos lembrar que a transformada de Fourier de uma função nos dá uma representação dessa função no domínio da frequência. Quando queremos encontrar a função original a partir da sua transformada, usamos a transformada de Fourier inversa.
A transformada de Fourier inversa é definida por:
No nosso caso, .

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a propriedade de convolução. A convolução de duas funções no domínio do tempo corresponde à multiplicação de suas transformadas de Fourier no domínio da frequência.
Sabemos que:
Então, se conseguirmos expressar como o produto de duas transformadas de Fourier conhecidas, podemos encontrar a função resultante pela convolução das funções correspondentes.

Passo 4

Sabemos que:
Então, podemos escrever:
Isso sugere que é a transformada de Fourier da convolução de consigo mesma.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a convolução de com :
A convolução de duas funções e é definida por:

Passo 6

Calculando a convolução:
Para simplificar, vamos considerar (a função será par, então o resultado será o mesmo para ):

Passo 7

Resolvendo a integral, obtemos:
Portanto, a função cuja transformada de Fourier é é:

Passo 8

Agora, vamos para a segunda função:
(ii)
Como antes, queremos encontrar a função cuja transformada de Fourier é . Novamente, usaremos a propriedade de convolução para resolver isso.

Passo 9

Sabemos que:
No nosso caso, sugere que a função no domínio do tempo é uma função gaussiana. E já conhecemos a transformada de Fourier como .

Passo 10

Então, podemos expressar como a transformada de Fourier da convolução de uma função gaussiana com :
Onde para corresponder ao .

Passo 11

Calculando a convolução, temos:
Substituindo :

Passo 12

Essa integral não tem uma solução elementar simples, mas pode ser expressa em termos de funções especiais, como a função erro ( ).
Então, a função resultante é:

Passo 13

Vamos para a terceira função:
(iii)
Queremos encontrar a função cuja transformada de Fourier é .

Passo 14

Primeiro, observamos que é a transformada de Fourier de uma função do tipo retângulo (função sinc). E já conhecemos como a transformada de .

Passo 15

Assim, podemos pensar em como a transformada de Fourier da convolução de uma função sinc com :

Passo 16

A função sinc é definida por:
Mas no contexto da transformada de Fourier, podemos ajustar a escala para .

Passo 17

Calculando a convolução:
Essa integral também não possui uma solução elementar simples, mas pode ser expressa em termos de funções especiais ou avaliadas numericamente.

Passo 18

Finalmente, vamos para a quarta função:
(iv)
Queremos encontrar a função cuja transformada de Fourier é .

Passo 19

Primeiro, note que . Então podemos reescrever a função como:

Passo 20

Sabemos que:
onde é a derivada da função delta de Dirac, mas isso é um conceito avançado. Em vez disso, podemos usar a propriedade de convolução novamente.

Passo 21

A expressão sugere que estamos lidando com a transformada de Fourier de uma função linear no tempo. E pode ser relacionada à transformada de uma função deslocada.

Passo 22

Após manipulação e aplicação das propriedades de convolução, encontramos que a função no domínio do tempo é:

Resposta

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