(a) Para cada uma das funções abaixo, determine uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier coincide com ela. (Para isto, você deve usar a convolução.)
(i)
.
(ii)
.
(iii)
.
(iv)
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para, para cada uma das funções dadas, encontrar uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier é igual à função fornecida. Para isso, vamos usar o conceito de convolução. Basicamente, vamos precisar entender o que é transformada de Fourier, convolução e como elas se relacionam para chegar à resposta final.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
(i)
Primeiro, precisamos lembrar que a transformada de Fourier de uma função nos dá uma representação dessa função no domínio da frequência. Quando queremos encontrar a função original a partir da sua transformada, usamos a transformada de Fourier inversa.
A transformada de Fourier inversa é definida por:
No nosso caso, .
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a propriedade de convolução. A convolução de duas funções no domínio do tempo corresponde à multiplicação de suas transformadas de Fourier no domínio da frequência.
Sabemos que:
Então, se conseguirmos expressar como o produto de duas transformadas de Fourier conhecidas, podemos encontrar a função resultante pela convolução das funções correspondentes.
Passo 4
Sabemos que:
Então, podemos escrever:
Isso sugere que
é a transformada de Fourier da convolução de
consigo mesma.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a convolução de
com
:
A convolução de duas funções
e
é definida por:
Passo 6
Calculando a convolução:
Para simplificar, vamos considerar
(a função será par, então o resultado será o mesmo para
):
Passo 7
Resolvendo a integral, obtemos:
Portanto, a função cuja transformada de Fourier é
é:
Passo 8
Agora, vamos para a segunda função:
(ii)
Como antes, queremos encontrar a função
cuja transformada de Fourier é
. Novamente, usaremos a propriedade de convolução para resolver isso.
Passo 9
Sabemos que:
No nosso caso,
sugere que a função no domínio do tempo é uma função gaussiana. E
já conhecemos a transformada de Fourier como
.
Passo 10
Então, podemos expressar
como a transformada de Fourier da convolução de uma função gaussiana com
:
Onde
para corresponder ao
.
Passo 11
Calculando a convolução, temos:
Substituindo
:
Passo 12
Essa integral não tem uma solução elementar simples, mas pode ser expressa em termos de funções especiais, como a função erro (
).
Então, a função resultante é:
Passo 13
Vamos para a terceira função:
(iii)
Queremos encontrar a função
cuja transformada de Fourier é .
Passo 14
Primeiro, observamos que
é a transformada de Fourier de uma função do tipo retângulo (função sinc). E
já conhecemos como a transformada de
.
Passo 15
Assim, podemos pensar em
como a transformada de Fourier da convolução de uma função sinc com
:
Passo 16
A função sinc é definida por:
Mas no contexto da transformada de Fourier, podemos ajustar a escala para
.
Passo 17
Calculando a convolução:
Essa integral também não possui uma solução elementar simples, mas pode ser expressa em termos de funções especiais ou avaliadas numericamente.
Passo 18
Finalmente, vamos para a quarta função:
(iv)
Queremos encontrar a função
cuja transformada de Fourier é
.
Passo 19
Primeiro, note que
. Então podemos reescrever a função como:
Passo 20
Sabemos que:
onde
é a derivada da função delta de Dirac, mas isso é um conceito avançado. Em vez disso, podemos usar a propriedade de convolução novamente.
Passo 21
A expressão
sugere que estamos lidando com a transformada de Fourier de uma função linear no tempo. E
pode ser relacionada à transformada de uma função deslocada.
Passo 22
Após manipulação e aplicação das propriedades de convolução, encontramos que a função no domínio do tempo é: