Calcule as integrais.
(a)

Passo 1

Vamos calcular a integral de multiplicada por no intervalo de a . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função delta de Dirac e suas propriedades em integrais.

Passo 2

A função delta de Dirac, representada por , é uma “função” especial que é zero em todos os pontos, exceto em , onde ela é infinita. A principal característica dela é que a integral de em todo o eixo real é igual a 1:

Passo 3

Uma propriedade importante da função delta de Dirac é que, quando ela está dentro de uma integral, ela “seleciona” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde não é zero. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, , então a integral simplifica para a função avaliada em 0.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa integral:
Isso porque a função “puxa” o valor de no ponto .

Passo 5

Sabemos que:
Portanto, a integral resulta em zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados

(b) Quando for possível, calcule essa integral.
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .
(a) Para cada uma das funções abaixo, determine uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier coincide com ela. (Para isto, você deve usar a convolução.)
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .
Calcule as integrais.
(b)
(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução da equação integral
em função de .