Calcule as integrais.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos calcular a integral de
multiplicada por no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função delta de Dirac e suas propriedades em integrais.
Passo 2
A função delta de Dirac, representada por
, é uma “função” especial que é zero em todos os pontos, exceto em
, onde ela é infinita. A principal característica dela é que a integral de
em todo o eixo real é igual a 1:
Passo 3
Uma propriedade importante da função delta de Dirac é que, quando ela está dentro de uma integral, ela “seleciona” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde
não é zero. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso,
, então a integral simplifica para a função avaliada em 0.
Passo 4
Aplicando essa propriedade à nossa integral:
Isso porque a função
“puxa” o valor de no ponto
.
Passo 5
Sabemos que:
Portanto, a integral resulta em zero.
Resposta
0
Exercícios relacionados
(b) Quando for possível, calcule essa integral.
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(a) Para cada uma das funções abaixo, determine uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier coincide com ela. (Para isto, você deve usar a convolução.)
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Calcule as integrais.
(b)
(b)
(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução
da equação integral
em função de
.