Qual é o resultado da convolução da função
consigo mesma?
Sugestão: Utilize a transformada de Fourier.
Sugestão: Utilize a transformada de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a convolução da função
com ela mesma. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente a operação de convolução e o uso da Transformada de Fourier para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convolução. A convolução de duas funções
e
é uma operação que combina as duas funções para formar uma terceira função, mostrando como a forma de uma se modifica pela outra. Matematicamente, é dada por:
No nosso caso, queremos convoluir
consigo mesma, ou seja,
.
Passo 3
Calcular a convolução diretamente pode ser complicado, então vamos usar a dica e aplicar a Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier converte funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências, facilitando operações como a convolução. A propriedade principal que vamos usar é:
Ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas individuais.
Passo 4
Vamos encontrar a Transformada de Fourier de
. Sabemos que:
Então, a transformada de
será:
Passo 5
Agora, precisamos aplicar a Transformada de Fourier inversa para voltar ao domínio original e encontrar
:
Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Resposta
A convolução da função
consigo mesma é:
Exercícios relacionados
Calcule a transformada da função
onde
, diretamente pela definição. Verifique que a expressão que você obteve coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.
Calcule
.
(a) Para cada uma das funções abaixo, determine uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier coincide com ela. (Para isto, você deve usar a convolução.)
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(b) Quando for possível, calcule essa integral.
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)