Qual é o resultado da convolução da função consigo mesma?
Sugestão: Utilize a transformada de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a convolução da função com ela mesma. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente a operação de convolução e o uso da Transformada de Fourier para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convolução. A convolução de duas funções e é uma operação que combina as duas funções para formar uma terceira função, mostrando como a forma de uma se modifica pela outra. Matematicamente, é dada por:
No nosso caso, queremos convoluir consigo mesma, ou seja, .

Passo 3

Calcular a convolução diretamente pode ser complicado, então vamos usar a dica e aplicar a Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier converte funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências, facilitando operações como a convolução. A propriedade principal que vamos usar é:
Ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas individuais.

Passo 4

Vamos encontrar a Transformada de Fourier de . Sabemos que:
Então, a transformada de será:

Passo 5

Agora, precisamos aplicar a Transformada de Fourier inversa para voltar ao domínio original e encontrar :
Sabemos que:
Aplicando isso com :

Resposta

A convolução da função consigo mesma é:

Exercícios relacionados

Calcule a transformada da função onde , diretamente pela definição. Verifique que a expressão que você obteve coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.
Calcule .
(a) Para cada uma das funções abaixo, determine uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier coincide com ela. (Para isto, você deve usar a convolução.)
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .
(b) Quando for possível, calcule essa integral.
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .