Calcule a transformada da função
onde
, diretamente pela definição. Verifique que a expressão que você obteve coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada da função
, onde
. Aqui,
é a função de Heaviside, que é igual a 0 para
e igual a 1 para
. Vamos usar a definição de transformada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a transformada que vamos calcular. Geralmente, quando falamos de transformada sem especificar, pode ser a Transformada de Fourier ou a Transformada de Laplace. Vou assumir que é a Transformada de Fourier, que é bastante comum em problemas desse tipo.
Passo 3
A transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Como queremos a transformada de
, primeiro precisamos calcular a convolução
.
Passo 4
A convolução
é definida por:
Vamos substituir
nessa expressão.
Passo 5
Substituindo
e
:
Isso vai simplificar, mas vamos analisar os intervalos onde as funções de Heaviside são diferentes de zero.
Passo 6
A função
é igual a 1 quando
e 0 caso contrário. O mesmo vale para
em termos de
.
Passo 7
Portanto, a integral se reduz a:
Precisamos determinar para quais valores de
essa expressão será diferente de zero.
Passo 8
Analisando os limites, percebemos que a convolução
será um triângulo simétrico com base de comprimento 4 e altura 2. Isso porque a sobreposição das funções de Heaviside forma um triângulo quando convoluímos duas janelas retangulares.
Passo 9
Agora, aplicando a transformada de Fourier na expressão resultante, que é um triângulo, sabemos que a transformada de Fourier de um triângulo é proporcional ao quadrado da função sinc:
Isso confirma que a expressão obtida coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.
Resposta
A transformada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule
.
Calcule
, em que
é a fronteira do triangulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.
Qual é o resultado da convolução da função
consigo mesma?
Sugestão: Utilize a transformada de Fourier.
Sugestão: Utilize a transformada de Fourier.
(a) Para cada uma das funções abaixo, determine uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier coincide com ela. (Para isto, você deve usar a convolução.)
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)