Calcule a transformada da função onde , diretamente pela definição. Verifique que a expressão que você obteve coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada da função , onde . Aqui, é a função de Heaviside, que é igual a 0 para e igual a 1 para . Vamos usar a definição de transformada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transformada que vamos calcular. Geralmente, quando falamos de transformada sem especificar, pode ser a Transformada de Fourier ou a Transformada de Laplace. Vou assumir que é a Transformada de Fourier, que é bastante comum em problemas desse tipo.

Passo 3

A transformada de Fourier de uma função é dada por:
Como queremos a transformada de , primeiro precisamos calcular a convolução .

Passo 4

A convolução é definida por:
Vamos substituir nessa expressão.

Passo 5

Substituindo e :
Isso vai simplificar, mas vamos analisar os intervalos onde as funções de Heaviside são diferentes de zero.

Passo 6

A função é igual a 1 quando e 0 caso contrário. O mesmo vale para em termos de .

Passo 7

Portanto, a integral se reduz a:
Precisamos determinar para quais valores de essa expressão será diferente de zero.

Passo 8

Analisando os limites, percebemos que a convolução será um triângulo simétrico com base de comprimento 4 e altura 2. Isso porque a sobreposição das funções de Heaviside forma um triângulo quando convoluímos duas janelas retangulares.

Passo 9

Agora, aplicando a transformada de Fourier na expressão resultante, que é um triângulo, sabemos que a transformada de Fourier de um triângulo é proporcional ao quadrado da função sinc:
Isso confirma que a expressão obtida coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.

Resposta

A transformada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule .
Calcule , em que é a fronteira do triangulo de vértices , e , orientada no sentido anti-horário.
Qual é o resultado da convolução da função consigo mesma?
Sugestão: Utilize a transformada de Fourier.
(a) Para cada uma das funções abaixo, determine uma fórmula integral para a função cuja transformada de Fourier coincide com ela. (Para isto, você deve usar a convolução.)
(i) .
(ii) .
(iii) .
(iv) .