Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f'(a) em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
(d) f(x) = |x|, no ponto (0, f(0))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função . Precisamos descobrir a inclinação da reta tangente, ou seja, , em um ponto qualquer . Depois, temos que encontrar a equação da reta tangente no ponto específico . Para isso, vamos precisar entender como derivar a função valor absoluto e como encontrar a reta tangente usando a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto de basicamente “vira positivo” qualquer número que receber. Então, se é positivo, , e se é negativo, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada em um ponto genérico . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Para , a função pode ser derivada da seguinte maneira:
  • Se , então e .
  • Se , então e .
Então, resumindo:

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece no ponto . Para essa função, o gráfico tem um “canto” no ponto , o que significa que a reta tangente nesse ponto não é bem definida. Ou seja, a derivada em não existe porque a inclinação à esquerda de 0 é -1 e à direita é 1, mas não há um único valor que represente a inclinação exatamente em 0.

Passo 5

Como a derivada em não existe, não podemos definir uma reta tangente nesse ponto. Portanto, não há uma equação de reta tangente para no ponto .

Resposta

A inclinação da função é igual a 1 para e -1 para . No ponto , a derivada não existe, então não há uma reta tangente definida nesse ponto.

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