Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
(d)
, no ponto
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
. Precisamos descobrir a inclinação da reta tangente, ou seja,
, em um ponto qualquer
. Depois, temos que encontrar a equação da reta tangente no ponto específico
. Para isso, vamos precisar entender como derivar a função valor absoluto e como encontrar a reta tangente usando a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto de
basicamente “vira positivo” qualquer número que receber. Então, se
é positivo,
, e se
é negativo,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada
em um ponto genérico
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Para
, a função
pode ser derivada da seguinte maneira:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Então, resumindo:
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece no ponto
. Para essa função, o gráfico tem um “canto” no ponto
, o que significa que a reta tangente nesse ponto não é bem definida. Ou seja, a derivada em
não existe porque a inclinação à esquerda de 0 é -1 e à direita é 1, mas não há um único valor que represente a inclinação exatamente em 0.
Passo 5
Como a derivada em
não existe, não podemos definir uma reta tangente nesse ponto. Portanto, não há uma equação de reta tangente para
no ponto
.
Resposta
A inclinação
da função
é igual a 1 para
e -1 para
. No ponto
, a derivada não existe, então não há uma reta tangente definida nesse ponto.
Exercícios relacionados
Considere a função
e encontre
.
Descreva a região
do plano interior a ambas as curvas
e
.
Encontre
para as funções a seguir.
e
O raio de um cone circular reto aumenta à taxa de
enquanto sua altura decresce à taxa de
. Qual é a taxa de variação do volume do cone quando o seu raio é igual a 20 cm e sua altura é igual a 18 cm ?
Dado:
Dado: