Descreva a região
do plano interior a ambas as curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos duas curvas no plano polar:
e
. Nosso objetivo é descrever a região
que está interior a ambas as curvas. Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e entender como representam figuras no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada curva separadamente para entender que tipo de figura cada uma representa.
A curva
é uma circunferência no plano polar. Sabemos que a equação geral de uma circunferência em coordenadas polares é
ou
, onde
determina o raio e a posição.
Já a curva
também é uma circunferência no plano polar, semelhante à primeira, mas com uma diferença na função trigonométrica utilizada.
Passo 3
Para entender melhor onde essas curvas se intersectam, vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Isso significa resolver a equação:
Dividindo ambos os lados por 4:
Podemos reescrever isso como:
Isso pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica para uma combinação linear:
Que simplifica para:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se intersectam nos ângulos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos entender qual delas está “por dentro” em cada intervalo de
.
Para isso, vamos testar valores de
entre 0° e 360°:
-
Entre 0° e 60°: Vamos escolher
. Aqui,, então está dentro de . -
Entre 60° e 240°: Vamos escolher
. Como o raio não pode ser negativo no plano polar, consideramos. Ambos os raios são zero, então não há área aqui. -
Entre 240° e 360°: Vamos escolher
. Novamente, consideramos apenas valores positivos, então.
Dessa forma, a região interior a ambas as curvas ocorre apenas no intervalo de
a
.
Resposta
A região
é o setor no plano polar compreendido entre
e
, onde
e
. Essa área está delimitada pelas duas curvas e forma um setor circular entre esses ângulos.