Descreva a região R do plano interior a ambas as curvas C1: r = 4 raiz(3) cos(theta) e C2: r = 4 sen theta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos duas curvas no plano polar: e . Nosso objetivo é descrever a região que está interior a ambas as curvas. Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e entender como representam figuras no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada curva separadamente para entender que tipo de figura cada uma representa.
A curva é uma circunferência no plano polar. Sabemos que a equação geral de uma circunferência em coordenadas polares é ou , onde determina o raio e a posição.
Já a curva também é uma circunferência no plano polar, semelhante à primeira, mas com uma diferença na função trigonométrica utilizada.

Passo 3

Para entender melhor onde essas curvas se intersectam, vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Isso significa resolver a equação:
Dividindo ambos os lados por 4:
Podemos reescrever isso como:
Isso pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica para uma combinação linear:
Que simplifica para:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se intersectam nos ângulos e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos entender qual delas está “por dentro” em cada intervalo de .
Para isso, vamos testar valores de entre 0° e 360°:
  • Entre 0° e 60°: Vamos escolher .
    Aqui, , então está dentro de .
  • Entre 60° e 240°: Vamos escolher .
    Como o raio não pode ser negativo no plano polar, consideramos .
    Ambos os raios são zero, então não há área aqui.
  • Entre 240° e 360°: Vamos escolher .
    Novamente, consideramos apenas valores positivos, então .
Dessa forma, a região interior a ambas as curvas ocorre apenas no intervalo de a .

Resposta

A região é o setor no plano polar compreendido entre e , onde e . Essa área está delimitada pelas duas curvas e forma um setor circular entre esses ângulos.

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