Encontre partial zpartial u e partial zpartial v para as funções a seguir.
f(x, y)=4 x+2 y, x=v e^u e y=u s e n v

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma função , onde e também dependem de outras variáveis e . Especificamente, e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u depende de partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v e , que por sua vez dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias. Primeiro, encontramos partial zpartial x = 4 e partial zpartial y = 2 a partir da função :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de partial xpartial u = v e^u e partial xpartial v = e^u em relação a partial ypartial u = sen v e partial ypartial v = u cos v .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia.
Para partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u = 4 cdot (v e^u) + 2 cdot (sen v) = 4v e^u + 2 sen v :
Para partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v = 4 cdot e^u + 2 cdot (u cos v) = 4 e^u + 2u cos v :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 4v e^u + 2 sen v

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