Encontre para as funções a seguir.
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma função , onde e também dependem de outras variáveis e . Especificamente, e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se depende de e , que por sua vez dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias. Primeiro, encontramos e a partir da função :
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a e .
Para :
Para :
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia.
Para :
Para :
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
(d) , no ponto
Considere a função e encontre .
O raio de um cone circular reto aumenta à taxa de enquanto sua altura decresce à taxa de . Qual é a taxa de variação do volume do cone quando o seu raio é igual a 20 cm e sua altura é igual a 18 cm ?
Dado:
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
com .