Considere a função e encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada parcial mista . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para chegar lá, vamos precisar lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável e usar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Isso significa que vamos derivar tratando como uma constante. A função é .
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é , onde e .
Calculando cada parte:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é (usamos a regra da cadeia aqui).
Então, .
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Ou seja, vamos derivar em relação a .
Vamos derivar termo a termo:
  1. Para :
    • A derivada em relação a é (usando a regra da cadeia).
  2. Para :
    • Aqui temos um produto de e .
    • Derivando em relação a .
    • Derivando em relação a .
    • Usando a regra do produto:
Somando os dois resultados:

Resposta

A derivada parcial mista é:

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e