Considere a função
e encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada parcial mista
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para chegar lá, vamos precisar lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável e usar a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar
tratando
como uma constante. A função é
.
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, onde
e
.
Calculando cada parte:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (usamos a regra da cadeia aqui).
Então,
.
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Ou seja, vamos derivar
em relação a
.
Vamos derivar termo a termo:
-
Para
: - A derivada em relação a
é (usando a regra da cadeia).
- A derivada em relação a
-
Para
: - Aqui temos um produto de
e . - Derivando
em relação a dá . - Derivando
em relação a dá . - Usando a regra do produto:
- Aqui temos um produto de
Somando os dois resultados:
Resposta
A derivada parcial mista
é: