O raio de um cone circular reto aumenta à taxa de 2 cm/s enquanto sua altura decresce à taxa de 3 cm/s. Qual é a taxa de variação do volume do cone quando o seu raio é igual a 20 cm e sua altura é igual a 18 cm ?
Dado: V = (1/3) pi r^2 h

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cone onde o raio está aumentando e a altura está diminuindo. Queremos descobrir como o volume desse cone está mudando nesse momento específico. Isso envolve o cálculo de taxas relacionadas, que é um assunto de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar da fórmula do volume do cone e das taxas de variação do raio e da altura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. Ela é dada por:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura do cone.

Passo 3

Agora, queremos encontrar como o volume está mudando em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, derivando a fórmula do volume em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos diferenciar a fórmula do volume:
Usando a regra do produto e a derivada de funções compostas, temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na expressão:
  • cm,
  • cm,
  • cm/s,
  • cm/s (a altura está diminuindo, por isso é negativa).
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
Então:

Resposta

A taxa de variação do volume do cone nesse momento é cm³/s.

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