O raio de um cone circular reto aumenta à taxa de
enquanto sua altura decresce à taxa de
. Qual é a taxa de variação do volume do cone quando o seu raio é igual a 20 cm e sua altura é igual a 18 cm ?
Dado:
Dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cone onde o raio está aumentando e a altura está diminuindo. Queremos descobrir como o volume desse cone está mudando nesse momento específico. Isso envolve o cálculo de taxas relacionadas, que é um assunto de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar da fórmula do volume do cone e das taxas de variação do raio e da altura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. Ela é dada por:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura do cone.
Passo 3
Agora, queremos encontrar como o volume
está mudando em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, derivando a fórmula do volume em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos diferenciar a fórmula do volume:
Usando a regra do produto e a derivada de funções compostas, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na expressão:
-
cm, -
cm, -
cm/s, -
cm/s (a altura está diminuindo, por isso é negativa).
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Então:
Resposta
A taxa de variação do volume do cone nesse momento é
cm³/s.
Exercícios relacionados
Encontre
para as funções a seguir.
e
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
(d) , no ponto
(d)
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(b) $ com
.
$(b) $
Calcule, utilizando série de potências, a integral
com precisão de pelo menos uma casa decimal.